Determinar a perda de carga em uma tubulação de 150 mm de diâmetro e 30 m de comprimento, na qual escoa glicerina ( \mu=9,6 \times 10^{-1} \mathrm{~N} / \mathrm{m} . \mathrm{s} ; \rho=1258 \mathrm{Kg} / \mathrm{m}^{3} ) com velocidade de 4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. (a) determine a perda de carga na tubulação, (b) o gradiente de pressão da tubulação, (c) a tensão de cisalhamento na parede da tubulação, (d) a equação apropriada para graficar o perfil de velocidade e (e) o valor da velocidade para $\mathrm{r}=\mathrm{R} / 2.

Passo 1

O enunciado descreve uma tubulação de comprimento L=30\\ \mathrm{m} e diâmetro D=0{,}15\\ \mathrm{m}, onde escoa glicerina com viscosidade dinâmica \mu=9,6\times10^{-1}\\ \mathrm{N/(m\cdot s)}, densidade \rho=1258\\ \mathrm{kg/m^3} e velocidade média U=4\\ \mathrm{m/s}. Vamos (a) calcular a perda de carga h_f pela fórmula de Darcy–Weisbach, (b) o gradiente de pressão \Delta p/L, (c) a tensão de cisalhamento na parede \tau_w, (d) escrever a equação do perfil de velocidade (fluxo laminar) e (e) avaliar essa equação em r=R/2.

Passo 2

Calculamos o número de Reynolds para identificar o regime de escoamento:
Re = \frac{\rho\,U\,D}{\mu} = \frac{1258\cdot4\cdot0{,}15}{9{,}6\times10^{-1}} \approx 786.
Como Re<2000, o escoamento é laminar e o fator de atrito de Darcy é
f = \frac{64}{Re} \approx \frac{64}{786} \approx 0{,}0814.

Passo 3

A perda de carga h_f pela fórmula de Darcy–Weisbach é
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{U^2}{2g} =0{,}0814\;\frac{30}{0{,}15}\;\frac{4^2}{2\cdot9{,}81} \approx13{,}3\\ \mathrm{m}.

Passo 4

A queda de pressão total \Delta p e o gradiente de pressão são dados por
\Delta p = \rho\,g\,h_f \approx1258\cdot9{,}81\cdot13{,}3 \approx1{,}64\times10^5\\ \mathrm{Pa},
\frac{\Delta p}{L} \approx\frac{1{,}64\times10^5}{30} \approx5{,}5\times10^3\\ \mathrm{Pa/m}.

Passo 5

A tensão de cisalhamento na parede \tau_w pode ser obtida por
\tau_w = \frac{\Delta p\,D}{4\,L} \approx\frac{1{,}64\times10^5\cdot0{,}15}{4\cdot30} \approx205\\ \mathrm{Pa}.

Passo 6

Para escoamento laminar em tubo cilíndrico, o perfil de velocidade é parabólico:
u(r) = U_{\max}\Bigl(1 - \frac{r^2}{R^2}\Bigr), \quad U_{\max}=2\,U.

Passo 7

Em r=R/2 temos
u\bigl(R/2\bigr) =U_{\max}\Bigl(1-\tfrac14\Bigr) =\tfrac34\,U_{\max} =\tfrac34\cdot(2U) =1{,}5\,U =1{,}5\cdot4 =6\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

(a) h_f\approx13{,}3\\ \mathrm{m}.
(b) \Delta p/L\approx5{,}5\times10^3\\ \mathrm{Pa/m}.
(c) \tau_w\approx205\\ \mathrm{Pa}.
(d) u(r)=2U\bigl(1-(r/R)^2\bigr).
(e) u(R/2)=6\\ \mathrm{m/s}.

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