Uma tubulação de vapor de 120 mm de diâmetro externo é isolada termicamente com uma camada de silicato de cálcio ( \mathrm{k}=0,089 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ) de 20 mm de espessura. A temperatura da superfície do tubo é 800 K , e as temperaturas do ar ambiente e da vizinhança encontram-se a 300 K . O coeficiente de transferência de calor por convecção é estimado em 5,5 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}. Determine a perda de calor por unidade de comprimento da tubulação ( \mathrm{W} / \mathrm{m} ) e a temperatura da superfície externa do isolamento térmico.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Dados:
  • diâmetro externo do tubo: \,D_{\rm tubo}=120\\ \mathrm{mm}.
  • espessura do isolamento: \,t_{\rm iso}=20\\ \mathrm{mm}.
  • condutividade térmica do isolamento: \,k=0,089\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • temperatura da superfície do tubo (superfície interna do isolamento): \,T_i=800\\ \mathrm{K}.
  • temperatura do ar ambiente (vizinhança): \,T_\infty=300\\ \mathrm{K}.
  • coeficiente convectivo na superfície externa do isolamento: \,h=5{,}5\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
O que se pede:
  1. Determinar a perda de calor por unidade de comprimento da tubulação (ou seja, q' em \mathrm{W/m}).
  2. Determinar a temperatura da superfície externa do isolamento (ou seja, T_{s} na face externa do isolamento).
Observação de dimensões (vou usar metros nas contas): o enunciado deu diâmetros/espessuras em milímetros; vou converter para metros no passo das contas.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • O fluxo de calor por unidade de comprimento através de um tubo isolado e trocado por convecção no exterior pode ser tratado como uma resistência térmica em série: resistência por condução através do isolamento (forma cilíndrica) + resistência por convecção na superfície externa. A diferença de temperatura entre a superfície interna do isolamento e o ambiente gera o fluxo.
  • A expressão geral é
q'=\frac{T_i-T_\infty}{R_{\rm total}},
onde q' é a perda de calor por unidade de comprimento ( \mathrm{W/m}) e R_{\rm total} é a soma das resistências térmicas por unidade de comprimento.
  • Resistência por condução em casca cilíndrica (por unidade de comprimento):
R_{\rm cond}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}{2\pi k},
onde r_1 é o raio interno da camada de isolamento (ou seja, raio externo do tubo) e r_2 é o raio externo do isolamento. Essa fórmula vem da solução da equação de condução estacionária em coordenadas cilíndricas (o fluxo por um cilindro de comprimento L é \dfrac{2\pi k L (T_1-T_2)}{\ln(r_2/r_1)}; aqui usamos L=1 m).
  • Resistência por convecção na superfície externa (por unidade de comprimento):
R_{\rm conv}=\frac{1}{h\,2\pi r_2}.
  • Portanto:
R_{\rm total}=R_{\rm cond}+R_{\rm conv}.
  • A temperatura da superfície externa do isolamento T_s fica entre T_i e T_\infty. Pode ser obtida por:
T_s=T_\infty + q' R_{\rm conv} \quad\text{ou}\quad T_s=T_i - q' R_{\rm cond}.
Ambas dão o mesmo resultado.

Passo 3

Converter dimensões e definir raios (tudo em metros e em TeX):
  • diâmetro externo do tubo: \,D_{\rm tubo}=120\\ \mathrm{mm}=0{,}120\\ \mathrm{m}.
  • raio externo do tubo (raio interno do isolamento):
r_1=\frac{D_{\rm tubo}}{2}=\frac{0{,}120}{2}=0{,}060\\ \mathrm{m}.
  • espessura do isolamento: \,t_{\rm iso}=20\\ \mathrm{mm}=0{,}020\\ \mathrm{m}.
  • raio externo do isolamento:
r_2=r_1+t_{\rm iso}=0{,}060+0{,}020=0{,}080\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular as resistências (mostrando cada conta):
  • Primeiro calculemos R_{\rm cond}:
R_{\rm cond}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}{2\pi k} =\frac{\ln\!\left(\dfrac{0{,}080}{0{,}060}\right)}{2\pi(0{,}089)}.
Calcule passo a passo:
\ln\!\left(\dfrac{0{,}080}{0{,}060}\right)=\ln\!(1{,}333\ldots)=0{,}287682\ldots
2\pi k=2\pi(0{,}089)=0{,}559203\ldots
Portanto
R_{\rm cond}\approx\frac{0{,}287682}{0{,}559203}=0{,}51447\\ \mathrm{K/W\\ (por\\ m)}.
  • Agora R_{\rm conv}:
R_{\rm conv}=\frac{1}{h\,2\pi r_2}=\frac{1}{5{,}5\cdot 2\pi\cdot 0{,}080}.
Calcule:
2\pi r_2=2\pi\cdot 0{,}080=0{,}502655\ldots
h\,2\pi r_2=5{,}5\cdot 0{,}502655=2{,}764602\ldots
R_{\rm conv}\approx\frac{1}{2{,}764602}=0{,}361585\\ \mathrm{K/W\\ (por\\ m)}.
  • Soma das resistências:
R_{\rm total}=R_{\rm cond}+R_{\rm conv}=0{,}51447+0{,}361585=0{,}87606\\ \mathrm{K/W\\ (por\\ m)}.

Passo 5

Calcular a perda de calor por unidade de comprimento q':
q'=\frac{T_i-T_\infty}{R_{\rm total}}=\frac{800-300}{0{,}87606}=\frac{500}{0{,}87606}.
q'\approx570{,}8\\ \mathrm{W/m}.
Breve comentário: esse valor é o calor que sai por cada metro de tubo.

Passo 6

Calcular a temperatura da superfície externa do isolamento T_s:
  • Usando T_s=T_\infty+q'R_{\rm conv}:
T_s=300+570{,}8\cdot 0{,}361585.
T_s\approx300+207{,}0=507{,}0\\ \mathrm{K}.
Verificação rápida (consistência): usando T_s=T_i-q'R_{\rm cond} dá o mesmo:
T_s=800-570{,}8\cdot 0{,}51447\approx800-293{,}0=507{,}0\\ \mathrm{K}.

Passo 7

Resumo final e incentivo rápido: a conta usou resistências térmicas em série (condução cilíndrica + convecção). Deu-se atenção às unidades (metros, W/m·K). Tá ótimo — conseguiu chegar ao resultado! Se quiser, eu mostro como mudaria o resultado se a espessura do isolamento fosse maior ou se o coeficiente convectivo mudasse.

Resposta

q'\approx 570{,}8\\ \mathrm{W/m}
T_{s}\approx 507{,}0\\ \mathrm{K}

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