A distribuição de temperaturas, em regime estacionário com geração de energia térmica, em uma parede unidimensional com condutividade térmica k e espessura L tem a forma
a) Apresente a equação do calor conforme as condições estabelecidas no problema;
b) Desenvolva uma expressão para a taxa de geração de calor por unidade de volume na parede;
c) Desenvolva uma expressão para os fluxos térmicos em suas duas superfícies (
, L).
b) Desenvolva uma expressão para a taxa de geração de calor por unidade de volume na parede;
c) Desenvolva uma expressão para os fluxos térmicos em suas duas superfícies (
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado dá a distribuição de temperatura unidimensional (regime estacionário com geração interna) na parede:
- A parede tem condutividade térmica
e espessura . - O problema pede:
(a) apresentar a equação do calor conforme as condições do problema;
(b) desenvolver uma expressão para a taxa de geração de calor por unidade de volume na parede (isto é,);
(c) desenvolver uma expressão para os fluxos térmicos nas superfíciese .
Passo 2
Vamos escrever a equação de balanço de energia para um elemento unidimensional em regime estacionário, explicando cada termo.
- Definição do fluxo térmico por condução (Lei de Fourier): o fluxo (por unidade de área) no sentido positivo
é
onde
tem unidade de
,
é a condutividade térmica (
) e
é a temperatura.
- Balanço de energia em regime estacionário (1D), por unidade de volume: a variação espacial do fluxo mais a geração volumétrica devem se anular:
onde
é a taxa de geração interna de calor por unidade de volume (
). Esta equação significa: quando o fluxo varia ao longo de
, essa variação é compensada pela geração interna.
Passo 3
Substituímos a Lei de Fourier no balanço para obter a equação diferencial de condução com geração.
- Substituição:
- Se
for constante (caso usual e presumido aqui), a derivada se simplifica:
- Isolando
obtemos a forma prática da equação do calor para este problema:
Esta é a resposta pedida em (a): a equação do calor em regime estacionário, 1D, com geração interna e condutividade
constante.
Passo 4
Agora vou usar a forma dada de
para calcular as derivadas necessárias. Faço isso passo a passo para que fique bem claro como proceder na prova.
- Temperatura dada:
- Primeira derivada (gradiente de temperatura):
Explicação: a derivada de
é
; de
é
; de
é
; de
é
.
- Segunda derivada:
Explicação: derivando novamente cada termo de
:
dá
;
dá
;
dá
.
Passo 5
Com a segunda derivada em mãos, escrevemos a taxa de geração volumétrica usando a equação do Passo 3.
- Substituindo em
obtemos:
Comentário rápido sobre unidades e sentido:
está em
. Se
for positivo, significa que a curvatura da temperatura é tal que a geração interna é positiva (fonte); se for negativo, seria uma “sumidouro” no balanço (mas no problema físico típico a geração é dada e deve fazer sentido).
Passo 6
Agora calculamos os fluxos térmicos em qualquer posição e, em particular, nas superfícies
e
.
- Expressão geral do fluxo (Lei de Fourier aplicada ao gradiente obtido no Passo 4):
- Fluxo na superfície
:
- Fluxo na superfície
:
Interpretação do sinal:
foi definido como fluxo na direção
. Se
significa calor fluindo para o lado positivo em
(isto é, saindo da face
no sentido +x); se for negativo, o calor está fluindo no sentido negativo. Na prova é comum informar também o módulo e a direção verbalmente.
Passo 7
Resumo final e observações práticas para a prova (forma direta para escrever como resposta):
- A equação do calor (regime estacionário, 1D,
constante) é
ou, de forma reduzida,
- Com
obtemos
- Os fluxos térmicos são dados por
logo nas superfícies:
Força aí — escreve isso com calma na prova e, se pedirem, explica a direção do fluxo lendo o sinal de cada
.
Resposta
(a)
(para
constante:
)
(b)
(c)
(b)
(c)