A distribuição de temperaturas, em regime estacionário com geração de energia térmica, em uma parede unidimensional com condutividade térmica k e espessura L tem a forma
\mathbf{T}=\mathbf{a}+\mathbf{b x}+\mathbf{c x}^{2}+\mathbf{d x}^{3}
a) Apresente a equação do calor conforme as condições estabelecidas no problema;
b) Desenvolva uma expressão para a taxa de geração de calor por unidade de volume na parede;
c) Desenvolva uma expressão para os fluxos térmicos em suas duas superfícies ( \mathrm{x}=0, L).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado dá a distribuição de temperatura unidimensional (regime estacionário com geração interna) na parede:
T(x)=a+b x+c x^{2}+d x^{3}.
  • A parede tem condutividade térmica k e espessura L.
  • O problema pede:
    (a) apresentar a equação do calor conforme as condições do problema;
    (b) desenvolver uma expressão para a taxa de geração de calor por unidade de volume na parede (isto é, q'''(x));
    (c) desenvolver uma expressão para os fluxos térmicos nas superfícies x=0 e x=L.

Passo 2

Vamos escrever a equação de balanço de energia para um elemento unidimensional em regime estacionário, explicando cada termo.
  • Definição do fluxo térmico por condução (Lei de Fourier): o fluxo (por unidade de área) no sentido positivo x é
q_x(x) = -k\,\frac{dT}{dx},
onde q_x tem unidade de \mathrm{W/m^2}, k é a condutividade térmica ( \mathrm{W/(m\cdot K)}) e T(x) é a temperatura.
  • Balanço de energia em regime estacionário (1D), por unidade de volume: a variação espacial do fluxo mais a geração volumétrica devem se anular:
\frac{d q_x}{dx} + q'''(x) = 0,
onde q'''(x) é a taxa de geração interna de calor por unidade de volume ( \mathrm{W/m^3}). Esta equação significa: quando o fluxo varia ao longo de x, essa variação é compensada pela geração interna.

Passo 3

Substituímos a Lei de Fourier no balanço para obter a equação diferencial de condução com geração.
  • Substituição:
\frac{d}{dx}\!\left(-k\,\frac{dT}{dx}\right) + q'''(x) = 0.
  • Se k for constante (caso usual e presumido aqui), a derivada se simplifica:
-k\,\frac{d^2 T}{d x^2} + q'''(x) = 0.
  • Isolando q'''(x) obtemos a forma prática da equação do calor para este problema:
q'''(x) = k\,\frac{d^2 T}{d x^2}.
Esta é a resposta pedida em (a): a equação do calor em regime estacionário, 1D, com geração interna e condutividade k constante.

Passo 4

Agora vou usar a forma dada de T(x) para calcular as derivadas necessárias. Faço isso passo a passo para que fique bem claro como proceder na prova.
  • Temperatura dada:
T(x)=a+b x+c x^{2}+d x^{3}.
  • Primeira derivada (gradiente de temperatura):
\frac{dT}{dx}=b+2c x+3d x^{2}.
Explicação: a derivada de a é 0; de b x é b; de c x^{2} é 2c x; de d x^{3} é 3d x^{2}.
  • Segunda derivada:
\frac{d^{2}T}{d x^{2}}=2c+6d x.
Explicação: derivando novamente cada termo de \dfrac{dT}{dx}: b 0; 2c x 2c; 3d x^{2} 6d x.

Passo 5

Com a segunda derivada em mãos, escrevemos a taxa de geração volumétrica usando a equação do Passo 3.
  • Substituindo em q'''(x)=k\,\dfrac{d^{2}T}{dx^{2}} obtemos:
q'''(x)=k\,(2c+6d x).
Comentário rápido sobre unidades e sentido: q'''(x) está em \mathrm{W/m^{3}}. Se 2c+6d x for positivo, significa que a curvatura da temperatura é tal que a geração interna é positiva (fonte); se for negativo, seria uma “sumidouro” no balanço (mas no problema físico típico a geração é dada e deve fazer sentido).

Passo 6

Agora calculamos os fluxos térmicos em qualquer posição e, em particular, nas superfícies x=0 e x=L.
  • Expressão geral do fluxo (Lei de Fourier aplicada ao gradiente obtido no Passo 4):
q_x(x) = -k\left(b+2c x+3d x^{2}\right).
  • Fluxo na superfície x=0:
q_x(0) = -k\,b.
  • Fluxo na superfície x=L:
q_x(L) = -k\left(b+2c L+3d L^{2}\right).
Interpretação do sinal: q_x foi definido como fluxo na direção +x. Se q_x(0) >0 significa calor fluindo para o lado positivo em x=0 (isto é, saindo da face x=0 no sentido +x); se for negativo, o calor está fluindo no sentido negativo. Na prova é comum informar também o módulo e a direção verbalmente.

Passo 7

Resumo final e observações práticas para a prova (forma direta para escrever como resposta):
  • A equação do calor (regime estacionário, 1D, k constante) é
\frac{d}{dx}\!\left(-k\,\frac{dT}{dx}\right)+q'''(x)=0
ou, de forma reduzida,
q'''(x)=k\,\frac{d^{2}T}{d x^{2}}.
  • Com T(x)=a+b x+c x^{2}+d x^{3} obtemos
q'''(x)=k\,(2c+6d x).
  • Os fluxos térmicos são dados por
q_x(x)=-k\,(b+2c x+3d x^{2}),
logo nas superfícies:
q_x(0)=-k\,b,
q_x(L)=-k\bigl(b+2c L+3d L^{2}\bigr).
Força aí — escreve isso com calma na prova e, se pedirem, explica a direção do fluxo lendo o sinal de cada q_x.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{d}{dx}\!\left(-k\,\frac{dT}{dx}\right)+q'''(x)=0\quad (para k constante: \displaystyle q'''(x)=k\,\frac{d^{2}T}{dx^{2}})
(b) \displaystyle q'''(x)=k\,(2c+6d x)
(c) \displaystyle q_x(0)=-k\,b
\displaystyle q_x(L)=-k\bigl(b+2c L+3d L^{2}\bigr)

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