Uma turbina de expansão de vapor é usada para acionar um gerador elétrico, em um processo que ocorre em estado estacionário. O vapor de entrada na turbina escoa por um duto de 4 in de diâmetro interno, com vazão de 2,5 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}, a 620^{\circ} \mathrm{C} e 1 MPa . O vapor na saída da turbina está a 342{ }^{\circ} \mathrm{C} e 0,1 \mathrm{MPa}, sendo descarregado em um duto com 10 in de diâmetro interno.
Qual é a potência que se espera obter nessa turbina, sabendo que ela opera de forma adiabática?

Passo 1

O enunciado pede a potência útil (potência entregue no eixo) esperada de uma turbina que opera em regime estacionário e de forma adiabática. Dados fornecidos no enunciado:
\dot{m}=2,5\\ \mathrm{kg/s}
\text{entrada: }T_{1}=620^\circ\mathrm{C},\; p_{1}=1\\ \mathrm{MPa},\; \text{duto de }4\\ \mathrm{in}\\ (\text{diâmetro interno})â
\text{saída: }T_{2}=342^\circ\mathrm{C},\; p_{2}=0{,}1\\ \mathrm{MPa},\; \text{duto de }10\\ \mathrm{in}\\ (\text{diâmetro interno})íâ
\text{processo: adiabático (sem troca de calor) e regime estacionário.}áá
Observações importantes retiradas do enunciado: os diâmetros dos dutos são internos e as temperaturas são dadas em graus Celsius. Não foi dada altura (energia potencial desprezível) nem informação sobre calor, por isso usaremos balanço de energia em escoamento estacionário e desprezaremos energia potencial. Não foram fornecidas tabelas de vapor; vou usar aproximação de gás perfeito para densidade e assumir um valor médio de c_p para vapor superaquecido para estimar a variação de entalpia entre os dois estados.

Passo 2

Escolha do método: como o enunciado não exige método específico, a forma natural é aplicar o balanço de energia para regime estacionário em um volume de controle que contém a turbina (equação do escoamento estacionário). Em linguagem simples: a potência no eixo da turbina é dada pela massa que entra vezes a diferença de energia por unidade de massa entre entrada e saída (entalpia + energia cinética + energia potencial). Vou explicar a fórmula e cada termo antes de aplicar aos números.

Passo 3

Formulação do balanço de energia em regime estacionário e adiabático (sem calor): para um escoamento unidimensional entre entrada e saída,
\dot{W}_{\text{out}}=\dot{m}\Big(h_{1}+\frac{V_{1}^{2}}{2}+g z_{1}-h_{2}-\frac{V_{2}^{2}}{2}-g z_{2}\Big).
Aqui:
  • \dot{W}_{\text{out}} é a potência produzida pela turbina (W),
  • \dot{m} é a vazão mássica (kg/s),
  • h é entalpia específica (kJ/kg ou J/kg),
  • V é velocidade do fluido (m/s),
  • z é altura (m),
  • g é aceleração da gravidade.
    Como não foram dadas alturas, vou desprezar o termo potencial ( g(z_1-z_2)\approx 0). Portanto, a expressão que usarei é
\dot{W}_{\text{out}}=\dot{m}\Big(h_{1}-h_{2}+\frac{V_{1}^{2}-V_{2}^{2}}{2}\Big).
Explicação didática: h_1-h_2 é a energia térmica por kg que pode ser convertida em trabalho; (V_1^2-V_2^2)/2 é a contribuição da energia cinética (se a velocidade aumenta na saída, a energia cinética do fluido aumenta e isso reduz o trabalho disponível para o eixo).

Passo 4

Estimativa da variação de entalpia \Delta h=h_{1}-h_{2}: sem tabelas, uma aproximação razoável para vapor superaquecido é tratar a entalpia específica como dependente principalmente da temperatura, usando um valor médio de c_p (capacidade calorífica a pressão constante) quase constante na faixa de interesse. Vou usar
c_p\approx 2{,}08\\ \mathrm{kJ\\ cdot kg^{-1}\\ cdot K^{-1}}
(um valor típico para vapor d’água superaquecido). Converto temperaturas para Kelvin:
T_{1}=620^\circ\mathrm{C}=620+273{,}15=893{,}15\\ \mathrm{K},
T_{2}=342^\circ\mathrm{C}=342+273{,}15=615{,}15\\ \mathrm{K}.
A variação de entalpia aproximada é
\Delta h = c_p (T_{1}-T_{2}).
Substituindo:
\Delta h \approx 2{,}08\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}}\times(893{,}15-615{,}15)\\ \mathrm{K}
\Delta h \approx 2{,}08\times 278\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}}
\Delta h \approx 578{,}24\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}}.
Comentário didático: isso significa que, por cada quilograma de vapor que atravessa a turbina, cerca de 578{,}24\\ \mathrm{kJ} de energia térmica (associada à temperatura) está disponível para conversão em trabalho, antes de considerar efeitos cinéticos.

Passo 5

Cálculo das velocidades nas seções (para a correção cinética). Primeiro converto os diâmetros de polegadas para metros e calculo as áreas:
1\\ \mathrm{in}=0{,}0254\\ \mathrm{m}
d_{1}=4\\ \mathrm{in}=4\times 0{,}0254=0{,}1016\\ \mathrm{m},
d_{2}=10\\ \mathrm{in}=10\times 0{,}0254=0{,}2540\\ \mathrm{m}.
Áreas:
A_{1}=\frac{\pi d_{1}^{2}}{4}=\frac{\pi(0{,}1016)^{2}}{4}=0{,}0081069\\ \mathrm{m^{2}},
A_{2}=\frac{\pi d_{2}^{2}}{4}=\frac{\pi(0{,}2540)^{2}}{4}=0{,}0506606\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 6

Estimativa das densidades usando a equação dos gases perfeitos para o vapor superaquecido (aproximação razoável a essas pressões e temperaturas):
\rho=\frac{p}{R_{\text{v}}T},
onde R_{\text{v}}=461{,}5\\ \mathrm{J\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}} é a constante específica do vapor d’água. Converter pressões para Pa e usar temperaturas em K.
Para a entrada:
p_{1}=1\\ \mathrm{MPa}=1{,}0\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa},
T_{1}=893{,}15\\ \mathrm{K},
\rho_{1}=\frac{1{,}0\times 10^{6}}{461{,}5\times 893{,}15}=2{,}4246\\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}.
Para a saída:
p_{2}=0{,}1\\ \mathrm{MPa}=1{,}0\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa},
T_{2}=615{,}15\\ \mathrm{K},
\rho_{2}=\frac{1{,}0\times 10^{5}}{461{,}5\times 615{,}15}=0{,}3524\\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}.

Passo 7

Cálculo das velocidades a partir de \dot{m}=\rho A V, ou seja V=\dot{m}/(\rho A).
Para a entrada:
V_{1}=\frac{\dot{m}}{\rho_{1}A_{1}}=\frac{2{,}5}{2{,}4246\times 0{,}0081069}=127{,}15\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}.
Para a saída:
V_{2}=\frac{\dot{m}}{\rho_{2}A_{2}}=\frac{2{,}5}{0{,}3524\times 0{,}0506606}=140{,}02\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}.

Passo 8

Cálculo da correção de energia cinética por unidade de massa:
\Delta\left(\frac{V^{2}}{2}\right)=\frac{V_{1}^{2}-V_{2}^{2}}{2}.
Substituindo números:
\frac{V_{1}^{2}}{2}=\frac{(127{,}15)^{2}}{2}=8{,}086\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}},
\frac{V_{2}^{2}}{2}=\frac{(140{,}02)^{2}}{2}=9{,}803\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}},
\Delta\left(\frac{V^{2}}{2}\right)=8{,}086-9{,}803=-1{,}717\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}}.
Interpretação: a energia cinética aumenta na saída (velocidade maior), portanto isto reduz a energia disponível para o eixo em 1{,}717\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 9

Cálculo da potência da turbina usando todos os termos:
\dot{W}_{\text{out}}=\dot{m}\Big(\Delta h+\Delta\left(\tfrac{V^{2}}{2}\right)\Big).
Substituindo \Delta h e a correção cinética:
\Delta h+\Delta\left(\tfrac{V^{2}}{2}\right)=578{,}24-1{,}717=576{,}523\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}}.
Multiplicando pela vazão mássica:
\dot{W}_{\text{out}}=2{,}5\times 576{,}523=1\,441{,}3075\\ \mathrm{kW}.
Arredondando de forma razoável (duas casas significativas apropriadas para dados fornecidos):
\dot{W}_{\text{out}}\approx 1{,}44\times 10^{3}\\ \mathrm{kW}=1{,}44\\ \mathrm{MW}.

Passo 10

Comentário final e convite: este valor é uma estimativa baseada em aproximações práticas — usei c_p constante e equação dos gases perfeitos para densidade. Com tabelas de vapor (valores exatos de h em cada pressão/temperatura) a resposta pode diferir algumas dezenas de kW; porém a ordem de grandeza (cerca de 1{,}4\\ \mathrm{MW}) permanece. Você está indo bem — esse tipo de cálculo é exatamente o que costuma cair em prova: aplicar o balanço de energia e cuidar das contribuições cinéticas.

Resposta

1{,}44\\ \mathrm{MW}

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