1. Uma turma de 30 alunos tem aulas numa sala de 30 lugares numerados. O professor, um dia, descreve macroscopicamente a sala dizendo que 28 dos lugares estão ocupados. Discuta as descrições microscópicas possíveis da sala neste dia e mostre que existem muitos “estados” microscópicos correspondentes ao estado macroscópico dos 28 assentos ocupados.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma turma de 30 alunos e uma sala com 30 lugares numerados. Num dia, o professor observa macroscopicamente que 28 lugares estão ocupados, sem dar detalhes de quais cadeiras nem quais alunos. O conteúdo envolvido é estatística combinatória e o conceito de micro
estado versus macro
estado: o macro
estado é “ 28 cadeiras ocupadas” e cada micro
estado é a descrição detalhada de quais cadeiras (e, opcionalmente, quais alunos) estão nesses 28 lugares.

Passo 2

Para identificar um micro
estado basta especificar quais 28 entre os 30 lugares estão ocupados. Como os lugares são numerados, um micro
estado é exatamente uma escolha de 28 elementos de um conjunto de 30.
O número de formas de escolher 28 cadeiras dentre 30 é dado pelo coeficiente binomial
\binom{30}{28}\;=\;\binom{30}{2}.

Passo 3

Calculando
\binom{30}{2} \;=\;\frac{30 \cdot 29}{2} \;=\;435.
Logo, existem 435 micro
estados distintos de ocupação de cadeiras que realizam o mesmo macro
estado “ 28 cadeiras ocupadas”.

Passo 4

Se quisermos ainda distinguir quais alunos (de um total de 30) estão presentes e em qual cadeira, então para cada escolha de 28 cadeiras há 28! maneiras de acomodar 28 alunos nessas cadeiras. Assim o total de micro
estados (cadeiras + identidade dos alunos) é
\binom{30}{28}\times 28! \;=\;P(30,28)\;=\;\frac{30!}{2!},
um número extremamente grande (~ 8{,}65\times10^{31}).

Resposta

Existem \binom{30}{28}=435 microestados se só contarmos quais cadeiras estão ocupadas, e \frac{30!}{2!} microestados se também distinguirmos quais alunos se sentam em cada cadeira.

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