De uma turma de BM observou-se, ao final do curso, que alguns estudantes obtiveram um ótimo desempenho (conceito
ou
. Observou-se também que alguns estudantes nunca compareceram às aulas (
de faltas), outros faltaram demais (
ou mais de faltas, mas menos de
).
Inicialmente, constate que são verdadeiras as seguintes implicações:
1.Se um(a) estudante obteve ótimo desempenho, então foi aprovado(a)
2.Se um(a) estudante nunca compareceu às aulas ou faltou demais, então foi reprovado(a)
Após, pergunta-se:
a) Se um(a) estudante foi aprovado(a), podemos determinar se teve ótimo desempenho ou não?
b) Se um(a) estudante foi reprovado(a), podemos determinar se teve ótimo desempenho ou não?
c) Se um(a) estudante teve ótimo desempenho, o que podemos afirmar sobre sua frequência às aulas?
d) Se um(a) estudante não teve um ótimo desempenho, o que podemos afirmar sobre sua frequência às aulas?
e) Se um(a) estudante nunca compareceu às aulas, podemos saber se teve um ótimo desempenho ou não?
f) Se um(a) estudante faltou demais, podemos saber se teve um ótimo desempenho ou não?
g) Se um(a) estudante compareceu a pelo menos
das aulas, podemos saber se teve um ótimo desempenho ou não?
Inicialmente, constate que são verdadeiras as seguintes implicações:
1.Se um(a) estudante obteve ótimo desempenho, então foi aprovado(a)
2.Se um(a) estudante nunca compareceu às aulas ou faltou demais, então foi reprovado(a)
a) Se um(a) estudante foi aprovado(a), podemos determinar se teve ótimo desempenho ou não?
b) Se um(a) estudante foi reprovado(a), podemos determinar se teve ótimo desempenho ou não?
c) Se um(a) estudante teve ótimo desempenho, o que podemos afirmar sobre sua frequência às aulas?
d) Se um(a) estudante não teve um ótimo desempenho, o que podemos afirmar sobre sua frequência às aulas?
e) Se um(a) estudante nunca compareceu às aulas, podemos saber se teve um ótimo desempenho ou não?
f) Se um(a) estudante faltou demais, podemos saber se teve um ótimo desempenho ou não?
g) Se um(a) estudante compareceu a pelo menos
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Informações dadas (pegas do enunciado):
- Alguns estudantes obtiveram ótimo desempenho (conceito
ou ). Vou chamar isso de . - Alguns estudantes nunca compareceram às aulas (ausência de
). Vou chamar isso de . - Alguns estudantes faltaram demais (ausência
e ). Vou chamar isso de . - Observou-se as implicações:
- Se um(a) estudante obteve ótimo desempenho, então foi aprovado(a). Em símbolo:
. - Se um(a) estudante nunca compareceu às aulas ou faltou demais, então foi reprovado(a). Em símbolo:
.
- Se um(a) estudante obteve ótimo desempenho, então foi aprovado(a). Em símbolo:
- Alguns estudantes obtiveram ótimo desempenho (conceito
-
Perguntas (cada letra corresponde a uma pergunta do enunciado):
a) Se um(a) estudante foi aprovado(a) (), podemos determinar se teve ótimo desempenho ( ) ou não?
b) Se um(a) estudante foi reprovado(a) (), podemos determinar se teve ótimo desempenho ( ) ou não?
c) Se um(a) estudante teve ótimo desempenho (), o que podemos afirmar sobre sua frequência às aulas ( , ou nenhuma dessas)?
d) Se um(a) estudante não teve um ótimo desempenho (), o que podemos afirmar sobre sua frequência às aulas?
e) Se um(a) estudante nunca compareceu às aulas (), podemos saber se teve um ótimo desempenho ( ) ou não?
f) Se um(a) estudante faltou demais (), podemos saber se teve um ótimo desempenho ( ) ou não?
g) Se um(a) estudante compareceu a pelo menosdas aulas (ou seja, não é nem ), podemos saber se teve um ótimo desempenho ( ) ou não?
Passo 2
Vou traduzir para lógica e lembrar algumas noções que vou usar (explicando bem).
-
Símbolos que usei:
-
: teve ótimo desempenho. -
: foi aprovado(a). -
: foi reprovado(a). -
: nunca compareceu (ausência ). -
: faltou demais (ausência e ).
-
-
Suposição natural e necessária aqui (estudante é aprovado ou reprovado): vou considerar que “aprovado” e “reprovado” são complementares no sentido lógico usual, ou seja,
é equivalente a e é equivalente a . Isso é razoável no contexto do enunciado (todo estudante fica aprovado ou reprovado). -
Noções lógicas usadas:
- Uma implicação
diz que sempre que ocorre então ocorre. Não diz que implica (a converse pode ser falsa). - A contrapositive de
é e é logicamente equivalente a . Isso é muito útil para deduzir informações ao ter negações. - A negação de uma disjunção satisfaz
. Em linguagem da frequência: “não (nunca compareceu ou faltou demais)” significa “não nunca compareceu E não faltou demais” — ou seja, compareceu a alguma aula e não faltou .
- Uma implicação
Passo 3
Traduzindo as hipóteses e tirando contrapartes úteis:
-
Dado:
. Sua contrapositive é Em palavras: “se foi reprovado, então não teve ótimo desempenho”. Isso já responde perguntas possíveis sobre reprovados. -
Dado:
. Tomando contrapartes e usando : - Contrapositiva:
. - Mas
é exatamente . Então - Simplificando a negação da disjunção:
Em palavras: “se foi aprovado, então não é verdade que nunca compareceu e também não é verdade que faltou demais” — isto é, um aprovado não pertence às categorias nem . - Interpretando em termos de porcentagem de presença:
significa que a ausência é menor que (e obviamente não ), ou seja, compareceu a pelo menos das aulas.
- Contrapositiva:
Passo 4
Responder (a): “Se um(a) estudante foi aprovado(a) (
), podemos determinar se teve ótimo desempenho (
)?”
- Do que temos:
, mas isto não diz que . A implicação é só numa direção. - A contrapositive deu
, mas nada afirma que todo aprovado teve ótimo desempenho. - Contraexemplo típico (ilustrativo): um estudante pode ser aprovado com conceito regular ou bom (não ótimo) — isso satisfaz
mas não . - Conclusão: Não é possível determinar. Resposta: “Não” (a aprovação não garante que teve ótimo desempenho).
Passo 5
Responder (b): “Se um(a) estudante foi reprovado(a) (
), podemos determinar se teve ótimo desempenho (
)?”
- Usando a contrapositive da primeira implicação:
. Como , segue - Em palavras: se foi reprovado então não teve ótimo desempenho.
- Conclusão: Sim — todo reprovado não teve ótimo desempenho.
Passo 6
Responder (c): “Se um(a) estudante teve ótimo desempenho (
), o que podemos afirmar sobre sua frequência às aulas?”
- Combine
com . Pela transitividade: - Em palavras: um estudante com ótimo desempenho não é da categoria “nunca compareceu” nem da categoria “faltou demais”.
- Interpretando em termos de porcentagem: isso significa que quem teve ótimo desempenho compareceu a pelo menos
das aulas (ausência ). - Conclusão: Um ótimo aluno não teve
de faltas nem faltas ; compareceu a pelo menos das aulas.
Passo 7
Responder (d): “Se um(a) estudante não teve um ótimo desempenho (
), o que podemos afirmar sobre sua frequência às aulas?”
- Temos
whose contrapositive is . Isso é útil para passar de reprovado para não-ótimo, mas não se pode inverter livremente. -
pode ocorrer por vários motivos: - pode ser que o estudante foi reprovado (
), o que por si só implica (caso coberto), e nesse caso a frequência poderia ser ou ou outra (mas se for reprovado por outras razões, pode também ter frequência qualquer); - ou pode ser que o estudante foi aprovado, mas com nota que não é ótimo (aprovado sem ser ótimo). Nesse caso a frequência também deve ser
(pela dedução ).
- pode ser que o estudante foi reprovado (
- Portanto, a informação
sozinha não determina a categoria de frequência: ele pode ter comparecido bastante ou pode ter faltado demais/sempre. - Conclusão: Não é possível determinar unicamente a frequência a partir de
.
Passo 8
Responder (e): “Se um(a) estudante nunca compareceu às aulas (
), podemos saber se teve um ótimo desempenho (
) ou não?”
- Pelo dado
, tomando (que é um caso da disjunção), obtemos . - Mas de (Passo 3) já temos
. - Composição:
, portanto . - Em palavras: quem nunca compareceu foi reprovado e, portanto, não teve ótimo desempenho.
- Conclusão: Sim — nunca compareceu implica que não teve ótimo desempenho.
Passo 9
Responder (f): “Se um(a) estudante faltou demais (
), podemos saber se teve um ótimo desempenho (
) ou não?”
- Pela mesma razão do item (e):
implica (pois entra em ), e implica . - Assim
. - Conclusão: Sim — faltou demais implica que não teve ótimo desempenho.
Passo 10
Responder (g): “Se um(a) estudante compareceu a pelo menos
das aulas (isto é, não é
nem
), podemos saber se teve um ótimo desempenho (
) ou não?”
- Comparecer a pelo menos
é equivalente a (ou ). - Do que temos, apenas
foi deduzido; a recíproca não foi dada e não pode ser inferida. - Assim, alguém que compareceu a pelo menos
pode: - ter sido aprovado e talvez ótimo ou não, ou
- ter sido reprovado por notas (não por falta), ficando
.
- Portanto
não permite concluir nem . - Conclusão: Não é possível determinar se teve ótimo desempenho apenas por ter comparecido a pelo menos
das aulas.
Resposta
a) Não.
b) Sim: foi (não teve ótimo desempenho).
c) Quem teve ótimo desempenho não é nem
; portanto compareceu a pelo menos
das aulas.
d) Não é possível determinar a frequência apenas a partir de .
e) Sim: nunca compareceu implica (não teve ótimo desempenho).
f) Sim: faltou demais implica (não teve ótimo desempenho).
g) Não. Quem compareceu a pelo menos pode tanto ter tido ótimo desempenho quanto não ter tido; não dá para saber.
b) Sim: foi
c) Quem teve ótimo desempenho não é
d) Não é possível determinar a frequência apenas a partir de
e) Sim: nunca compareceu implica
f) Sim: faltou demais implica
g) Não. Quem compareceu a pelo menos