De uma turma de BM observou-se, ao final do curso, que alguns estudantes obtiveram um ótimo desempenho (conceito A ou B). Observou-se também que alguns estudantes nunca compareceram às aulas ( 100 \% de faltas), outros faltaram demais ( 80 \% ou mais de faltas, mas menos de 100 \% ).
Inicialmente, constate que são verdadeiras as seguintes implicações:
1.Se um(a) estudante obteve ótimo desempenho, então foi aprovado(a)
2.Se um(a) estudante nunca compareceu às aulas ou faltou demais, então foi reprovado(a)
Após, pergunta-se:
a) Se um(a) estudante foi aprovado(a), podemos determinar se teve ótimo desempenho ou não?
b) Se um(a) estudante foi reprovado(a), podemos determinar se teve ótimo desempenho ou não?
c) Se um(a) estudante teve ótimo desempenho, o que podemos afirmar sobre sua frequência às aulas?
d) Se um(a) estudante não teve um ótimo desempenho, o que podemos afirmar sobre sua frequência às aulas?
e) Se um(a) estudante nunca compareceu às aulas, podemos saber se teve um ótimo desempenho ou não?
f) Se um(a) estudante faltou demais, podemos saber se teve um ótimo desempenho ou não?
g) Se um(a) estudante compareceu a pelo menos 20 \% das aulas, podemos saber se teve um ótimo desempenho ou não?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Informações dadas (pegas do enunciado):
    • Alguns estudantes obtiveram ótimo desempenho (conceito A ou B). Vou chamar isso de \mathrm{O}.
    • Alguns estudantes nunca compareceram às aulas (ausência de 100\%). Vou chamar isso de \mathrm{N}.
    • Alguns estudantes faltaram demais (ausência \ge 80\% e <100\%). Vou chamar isso de \mathrm{D}.
    • Observou-se as implicações:
      1. Se um(a) estudante obteve ótimo desempenho, então foi aprovado(a). Em símbolo: \mathrm{O}\to\mathrm{P}.
      2. Se um(a) estudante nunca compareceu às aulas ou faltou demais, então foi reprovado(a). Em símbolo: (\mathrm{N}\lor\mathrm{D})\to\mathrm{R}.
  • Perguntas (cada letra corresponde a uma pergunta do enunciado):
    a) Se um(a) estudante foi aprovado(a) ( \mathrm{P}), podemos determinar se teve ótimo desempenho ( \mathrm{O}) ou não?
    b) Se um(a) estudante foi reprovado(a) ( \mathrm{R}), podemos determinar se teve ótimo desempenho ( \mathrm{O}) ou não?
    c) Se um(a) estudante teve ótimo desempenho ( \mathrm{O}), o que podemos afirmar sobre sua frequência às aulas ( \mathrm{N}, \mathrm{D} ou nenhuma dessas)?
    d) Se um(a) estudante não teve um ótimo desempenho ( \lnot\mathrm{O}), o que podemos afirmar sobre sua frequência às aulas?
    e) Se um(a) estudante nunca compareceu às aulas ( \mathrm{N}), podemos saber se teve um ótimo desempenho ( \mathrm{O}) ou não?
    f) Se um(a) estudante faltou demais ( \mathrm{D}), podemos saber se teve um ótimo desempenho ( \mathrm{O}) ou não?
    g) Se um(a) estudante compareceu a pelo menos 20\% das aulas (ou seja, não é \mathrm{N} nem \mathrm{D}), podemos saber se teve um ótimo desempenho ( \mathrm{O}) ou não?

Passo 2

Vou traduzir para lógica e lembrar algumas noções que vou usar (explicando bem).
  • Símbolos que usei:
    • \mathrm{O}: teve ótimo desempenho.
    • \mathrm{P}: foi aprovado(a).
    • \mathrm{R}: foi reprovado(a).
    • \mathrm{N}: nunca compareceu (ausência 100\%).
    • \mathrm{D}: faltou demais (ausência \ge 80\% e <100\%).
  • Suposição natural e necessária aqui (estudante é aprovado ou reprovado): vou considerar que “aprovado” e “reprovado” são complementares no sentido lógico usual, ou seja, \mathrm{R} é equivalente a \lnot\mathrm{P} e \mathrm{P} é equivalente a \lnot\mathrm{R}. Isso é razoável no contexto do enunciado (todo estudante fica aprovado ou reprovado).
  • Noções lógicas usadas:
    • Uma implicação \mathrm{A}\to\mathrm{B} diz que sempre que \mathrm{A} ocorre então \mathrm{B} ocorre. Não diz que \mathrm{B} implica \mathrm{A} (a converse pode ser falsa).
    • A contrapositive de \mathrm{A}\to\mathrm{B} é \lnot\mathrm{B}\to\lnot\mathrm{A} e é logicamente equivalente a \mathrm{A}\to\mathrm{B}. Isso é muito útil para deduzir informações ao ter negações.
    • A negação de uma disjunção satisfaz \lnot(\mathrm{N}\lor\mathrm{D}) \iff (\lnot\mathrm{N}\land\lnot\mathrm{D}). Em linguagem da frequência: “não (nunca compareceu ou faltou demais)” significa “não nunca compareceu E não faltou demais” — ou seja, compareceu a alguma aula e não faltou \ge 80\%.

Passo 3

Traduzindo as hipóteses e tirando contrapartes úteis:
  • Dado: \mathrm{O}\to\mathrm{P}. Sua contrapositive é
    \lnot\mathrm{P}\to\lnot\mathrm{O}.
    Em palavras: “se foi reprovado, então não teve ótimo desempenho”. Isso já responde perguntas possíveis sobre reprovados.
  • Dado: (\mathrm{N}\lor\mathrm{D})\to\mathrm{R}. Tomando contrapartes e usando \mathrm{R}\iff\lnot\mathrm{P}:
    • Contrapositiva: \lnot\mathrm{R}\to\lnot(\mathrm{N}\lor\mathrm{D}).
    • Mas \lnot\mathrm{R} é exatamente \mathrm{P}. Então \mathrm{P}\to\lnot(\mathrm{N}\lor\mathrm{D}).
    • Simplificando a negação da disjunção: \mathrm{P}\to(\lnot\mathrm{N}\land\lnot\mathrm{D}).Em palavras: “se foi aprovado, então não é verdade que nunca compareceu e também não é verdade que faltou demais” — isto é, um aprovado não pertence às categorias \mathrm{N} nem \mathrm{D}.
    • Interpretando em termos de porcentagem de presença: \lnot\mathrm{N}\land\lnot\mathrm{D} significa que a ausência é menor que 80\% (e obviamente não 100\%), ou seja, compareceu a pelo menos 20\% das aulas.

Passo 4

Responder (a): “Se um(a) estudante foi aprovado(a) ( \mathrm{P}), podemos determinar se teve ótimo desempenho ( \mathrm{O})?”
  • Do que temos: \mathrm{O}\to\mathrm{P}, mas isto não diz que \mathrm{P}\to\mathrm{O}. A implicação é só numa direção.
  • A contrapositive deu \mathrm{P}\to(\lnot\mathrm{N}\land\lnot\mathrm{D}), mas nada afirma que todo aprovado teve ótimo desempenho.
  • Contraexemplo típico (ilustrativo): um estudante pode ser aprovado com conceito regular ou bom (não ótimo) — isso satisfaz \mathrm{P} mas não \mathrm{O}.
  • Conclusão: Não é possível determinar. Resposta: “Não” (a aprovação não garante que teve ótimo desempenho).

Passo 5

Responder (b): “Se um(a) estudante foi reprovado(a) ( \mathrm{R}), podemos determinar se teve ótimo desempenho ( \mathrm{O})?”
  • Usando a contrapositive da primeira implicação: \lnot\mathrm{P}\to\lnot\mathrm{O}. Como \mathrm{R}\iff\lnot\mathrm{P}, segue \mathrm{R}\to\lnot\mathrm{O}.
  • Em palavras: se foi reprovado então não teve ótimo desempenho.
  • Conclusão: Sim — todo reprovado não teve ótimo desempenho.

Passo 6

Responder (c): “Se um(a) estudante teve ótimo desempenho ( \mathrm{O}), o que podemos afirmar sobre sua frequência às aulas?”
  • Combine \mathrm{O}\to\mathrm{P} com \mathrm{P}\to(\lnot\mathrm{N}\land\lnot\mathrm{D}). Pela transitividade: \mathrm{O}\to(\lnot\mathrm{N}\land\lnot\mathrm{D}).
  • Em palavras: um estudante com ótimo desempenho não é da categoria “nunca compareceu” nem da categoria “faltou demais”.
  • Interpretando em termos de porcentagem: isso significa que quem teve ótimo desempenho compareceu a pelo menos 20\% das aulas (ausência <80\%).
  • Conclusão: Um ótimo aluno não teve 100\% de faltas nem faltas \ge 80\%; compareceu a pelo menos 20\% das aulas.

Passo 7

Responder (d): “Se um(a) estudante não teve um ótimo desempenho ( \lnot\mathrm{O}), o que podemos afirmar sobre sua frequência às aulas?”
  • Temos \mathrm{O}\to\mathrm{P} whose contrapositive is \lnot\mathrm{P}\to\lnot\mathrm{O}. Isso é útil para passar de reprovado para não-ótimo, mas não se pode inverter livremente.
  • \lnot\mathrm{O} pode ocorrer por vários motivos:
    • pode ser que o estudante foi reprovado ( \mathrm{R}), o que por si só implica \lnot\mathrm{O} (caso coberto), e nesse caso a frequência poderia ser \mathrm{N} ou \mathrm{D} ou outra (mas se for reprovado por outras razões, pode também ter frequência qualquer);
    • ou pode ser que o estudante foi aprovado, mas com nota que não é ótimo (aprovado sem ser ótimo). Nesse caso a frequência também deve ser \lnot\mathrm{N}\land\lnot\mathrm{D} (pela dedução \mathrm{P}\to\lnot(\mathrm{N}\lor\mathrm{D})).
  • Portanto, a informação \lnot\mathrm{O} sozinha não determina a categoria de frequência: ele pode ter comparecido bastante ou pode ter faltado demais/sempre.
  • Conclusão: Não é possível determinar unicamente a frequência a partir de \lnot\mathrm{O}.

Passo 8

Responder (e): “Se um(a) estudante nunca compareceu às aulas ( \mathrm{N}), podemos saber se teve um ótimo desempenho ( \mathrm{O}) ou não?”
  • Pelo dado (\mathrm{N}\lor\mathrm{D})\to\mathrm{R}, tomando \mathrm{N} (que é um caso da disjunção), obtemos \mathrm{N}\to\mathrm{R}.
  • Mas de (Passo 3) já temos \mathrm{R}\to\lnot\mathrm{O}.
  • Composição: \mathrm{N}\to\mathrm{R}\to\lnot\mathrm{O}, portanto \mathrm{N}\to\lnot\mathrm{O}.
  • Em palavras: quem nunca compareceu foi reprovado e, portanto, não teve ótimo desempenho.
  • Conclusão: Sim — nunca compareceu implica que não teve ótimo desempenho.

Passo 9

Responder (f): “Se um(a) estudante faltou demais ( \mathrm{D}), podemos saber se teve um ótimo desempenho ( \mathrm{O}) ou não?”
  • Pela mesma razão do item (e): \mathrm{D} implica \mathrm{R} (pois \mathrm{D} entra em \mathrm{N}\lor\mathrm{D}), e \mathrm{R} implica \lnot\mathrm{O}.
  • Assim \mathrm{D}\to\lnot\mathrm{O}.
  • Conclusão: Sim — faltou demais implica que não teve ótimo desempenho.

Passo 10

Responder (g): “Se um(a) estudante compareceu a pelo menos 20\% das aulas (isto é, não é \mathrm{N} nem \mathrm{D}), podemos saber se teve um ótimo desempenho ( \mathrm{O}) ou não?”
  • Comparecer a pelo menos 20\% é equivalente a \lnot(\mathrm{N}\lor\mathrm{D}) (ou \lnot\mathrm{N}\land\lnot\mathrm{D}).
  • Do que temos, apenas \mathrm{P}\to\lnot(\mathrm{N}\lor\mathrm{D}) foi deduzido; a recíproca \lnot(\mathrm{N}\lor\mathrm{D})\to\mathrm{P} não foi dada e não pode ser inferida.
  • Assim, alguém que compareceu a pelo menos 20\% pode:
    • ter sido aprovado e talvez ótimo ou não, ou
    • ter sido reprovado por notas (não por falta), ficando \lnot\mathrm{O}.
  • Portanto \lnot(\mathrm{N}\lor\mathrm{D}) não permite concluir \mathrm{O} nem \lnot\mathrm{O}.
  • Conclusão: Não é possível determinar se teve ótimo desempenho apenas por ter comparecido a pelo menos 20\% das aulas.

Resposta

a) Não.
b) Sim: foi \lnot\mathrm{O} (não teve ótimo desempenho).
c) Quem teve ótimo desempenho não é \mathrm{N} nem \mathrm{D}; portanto compareceu a pelo menos 20\% das aulas.
d) Não é possível determinar a frequência apenas a partir de \lnot\mathrm{O}.
e) Sim: nunca compareceu implica \lnot\mathrm{O} (não teve ótimo desempenho).
f) Sim: faltou demais implica \lnot\mathrm{O} (não teve ótimo desempenho).
g) Não. Quem compareceu a pelo menos 20\% pode tanto ter tido ótimo desempenho quanto não ter tido; não dá para saber.

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