Exercício 10. Prove as seguintes afirmações.
A função arccossec : \mathbb{R} \backslash[-1,1] \rightarrow] \frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[\backslash\{0\} é derivável e vale que
\operatorname{arccossec}^{\prime}(y)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{-1}{y \sqrt{y^{2}-1}}, & \text { se } y>1 \\frac{1}{y \sqrt{y^{2}-1}}, & \text { se } y<-1\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para provar que a função \operatorname{arccossec}:\mathbb{R}\setminus[-1,1]\to\left]\!-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\!\right[\setminus\{0\}\) é diferenciável e que sua derivada é
\[\operatorname{arccossec}^{\prime}(y)=\begin{cases} \dfrac{-1}{y\sqrt{y^{2}-1}}, & \text{se } y>1,\\[6pt] \dfrac{1}{y\sqrt{y^{2}-1}}, & \text{se } y<-1. \end{cases}
Informações dadas e observações imediatas:
O domínio da função é \mathbb{R}\setminus[-1,1]=(-\infty,-1)\cup(1,\infty)\].
- A imagem indicada é \(\left]\!-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\!\right[\setminus\{0\}, ou seja, o arco cuja função trigonométrica inversa natural para o seno (arcsin) toma valores nesse intervalo.
- Para qualquer y com |y|>1 vale 1/y\in(-1,1), portanto faz sentido relacionar \operatorname{arccossec} com \arcsin avaliada em 1/y.
A partir daqui começamos a resolver mostrando essa relação e diferenciando-a passo a passo.]
Passo 2
Definição e reescrita útil. Seja y com |y|>1. Por definição de \operatorname{arccossec} (inversa da cosecante restrita ao ramo indicado), \operatorname{arccossec}(y) é o único x\in\left]\!-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\!\right[\setminus\{0\} tal que
\csc x = y.
Como \csc x = 1/\sin x, isso equivale a
\sin x = \frac{1}{y}.
Pela definição da função \arcsin (inversa de \sin restrita a \left]\!-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\!\right[), o único x satisfazendo \sin x=1/y é
x = \arcsin\!\bigl(1/y\bigr).
Portanto, para todo y\in(-\infty,-1)\cup(1,\infty) tem-se a identidade funcional
Breve justificativa (intuição): se u=\sin t então t=\arcsin(u) e diferenciando implicaria dt/du = 1/\cos t. Como \cos t=\sqrt{1-\sin^{2}t}=\sqrt{1-u^{2}} (no ramo considerado \cos t\ge0), obtemos a fórmula acima.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia à composição \operatorname{arccossec}(y)=\arcsin(1/y). A função g(y)=1/y é diferenciável em todo ponto y\neq0 (aqui, no domínio dado, y\neq0 de fato), com derivada g'(y)=-1/y^{2}. Usando a regra da cadeia:
Portanto obtemos exatamente a expressão peça a peça solicitada.
Passo 7
Conclusão sobre diferenciabilidade. Como \operatorname{arccossec} foi escrita como composição de funções diferenciáveis em seus domínios apropriados (\arcsin diferenciável em (-1,1) e y\mapsto 1/y diferenciável em \mathbb{R}\setminus\{0\}), e a composição é válida para todo y\in(-\infty,-1)\cup(1,\infty), segue que \operatorname{arccossec} é diferenciável em todo o seu domínio e sua derivada é a que acabamos de calcular.