Exercício 10. Prove as seguintes afirmações.
A função arccossec : \mathbb{R} \backslash[-1,1] \rightarrow] \frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[\backslash\{0\} é derivável e vale que
\operatorname{arccossec}^{\prime}(y)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{-1}{y \sqrt{y^{2}-1}}, & \text { se } y>1 \\frac{1}{y \sqrt{y^{2}-1}}, & \text { se } y<-1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para provar que a função \operatorname{arccossec}:\mathbb{R}\setminus[-1,1]\to\left]\!-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\!\right[\setminus\{0\}\) é diferenciável e que sua derivada é \[\operatorname{arccossec}^{\prime}(y)=\begin{cases} \dfrac{-1}{y\sqrt{y^{2}-1}}, & \text{se } y>1,\\[6pt] \dfrac{1}{y\sqrt{y^{2}-1}}, & \text{se } y<-1. \end{cases}
Informações dadas e observações imediatas:
  • O domínio da função é \mathbb{R}\setminus[-1,1]=(-\infty,-1)\cup(1,\infty)\]. - A imagem indicada é \(\left]\!-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\!\right[\setminus\{0\}, ou seja, o arco cuja função trigonométrica inversa natural para o seno (arcsin) toma valores nesse intervalo.
    - Para qualquer y com |y|>1 vale 1/y\in(-1,1), portanto faz sentido relacionar \operatorname{arccossec} com \arcsin avaliada em 1/y.
    A partir daqui começamos a resolver mostrando essa relação e diferenciando-a passo a passo.]

Passo 2

Definição e reescrita útil. Seja y com |y|>1. Por definição de \operatorname{arccossec} (inversa da cosecante restrita ao ramo indicado), \operatorname{arccossec}(y) é o único x\in\left]\!-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\!\right[\setminus\{0\} tal que
\csc x = y.
Como \csc x = 1/\sin x, isso equivale a
\sin x = \frac{1}{y}.
Pela definição da função \arcsin (inversa de \sin restrita a \left]\!-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\!\right[), o único x satisfazendo \sin x=1/y é
x = \arcsin\!\bigl(1/y\bigr).
Portanto, para todo y\in(-\infty,-1)\cup(1,\infty) tem-se a identidade funcional
\operatorname{arccossec}(y)=\arcsin\!\bigl(1/y\bigr).
Essa reescrita é a chave: vamos diferenciar essa composição.

Passo 3

Lembrete sobre a derivada da função \arcsin. A função \arcsin:(-1,1)\to\left]\!-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\!\right[ é diferenciável e satisfa z
\frac{d}{du}\arcsin(u)=\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}},\qquad \text{para }u\in(-1,1).
Breve justificativa (intuição): se u=\sin t então t=\arcsin(u) e diferenciando implicaria dt/du = 1/\cos t. Como \cos t=\sqrt{1-\sin^{2}t}=\sqrt{1-u^{2}} (no ramo considerado \cos t\ge0), obtemos a fórmula acima.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia à composição \operatorname{arccossec}(y)=\arcsin(1/y). A função g(y)=1/y é diferenciável em todo ponto y\neq0 (aqui, no domínio dado, y\neq0 de fato), com derivada g'(y)=-1/y^{2}. Usando a regra da cadeia:
\frac{d}{dy}\operatorname{arccossec}(y) = \left.\frac{d}{du}\arcsin(u)\right|_{u=1/y}\cdot\frac{d}{dy}\!\bigl(1/y\bigr).
Substituindo as fórmulas conhecidas:
\operatorname{arccossec}^{\prime}(y) = \frac{1}{\sqrt{1-(1/y)^{2}}}\cdot\left(-\frac{1}{y^{2}}\right).

Passo 5

Simplificar a expressão obtida. Primeiro simplificar o radicando:
1-\frac{1}{y^{2}}=\frac{y^{2}-1}{y^{2}}.
Logo
\sqrt{1-(1/y)^{2}}=\sqrt{\frac{y^{2}-1}{y^{2}}} = \frac{\sqrt{y^{2}-1}}{|y|},
onde usamos \sqrt{y^{2}}=|y|. Substituindo na derivada:
\operatorname{arccossec}^{\prime}(y) = -\frac{1}{y^{2}}\cdot\frac{1}{\dfrac{\sqrt{y^{2}-1}}{|y|}} = -\frac{1}{y^{2}}\cdot\frac{|y|}{\sqrt{y^{2}-1}}.
Agora observe que y^{2}=|y|^{2}, então |y|/y^{2}=1/|y|. Assim
\operatorname{arccossec}^{\prime}(y) = -\frac{1}{|y|\sqrt{y^{2}-1}}.
Esta é uma forma compacta e correta da derivada para todo y com |y|>1.

Passo 6

Passar da forma com valor absoluto para a forma peça a peça indicada no enunciado. Se y>1 então |y|=y e
\operatorname{arccossec}^{\prime}(y)=-\frac{1}{y\sqrt{y^{2}-1}}.
Se y<-1 então |y|=-y e
\operatorname{arccossec}^{\prime}(y)=-\frac{1}{(-y)\sqrt{y^{2}-1}}=\frac{1}{y\sqrt{y^{2}-1}}.
Portanto obtemos exatamente a expressão peça a peça solicitada.

Passo 7

Conclusão sobre diferenciabilidade. Como \operatorname{arccossec} foi escrita como composição de funções diferenciáveis em seus domínios apropriados ( \arcsin diferenciável em (-1,1) e y\mapsto 1/y diferenciável em \mathbb{R}\setminus\{0\}), e a composição é válida para todo y\in(-\infty,-1)\cup(1,\infty), segue que \operatorname{arccossec} é diferenciável em todo o seu domínio e sua derivada é a que acabamos de calcular.

Resposta

\operatorname{arccossec}^{\prime}(y)=\begin{cases} \dfrac{-1}{y\sqrt{y^{2}-1}}, & \text{se } y>1,\\[6pt] \dfrac{1}{y\sqrt{y^{2}-1}}, & \text{se } y<-1. \end{cases}]

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