Two dependent variables Express v_{x} in terms of u and v if the equations x=v \ln u and y=u \ln v define u and v as functions of the independent variables x and y, and if v_{x} exists. (Hint: Differentiate both equations with respect to x and solve for v_{x} by eliminating u_{x}.)

Passo 1

Temos as definições implícitas\r
x = v \ln u,
y = u \ln v,\r
onde u=u(x,y) e v=v(x,y). Queremos encontrar \displaystyle v_x=\frac{\partial v}{\partial x} mantendo y constante. Vamos usar diferenciação implícita e eliminar u_x.

Passo 2

Diferenciando \;x = v \ln u\; em relação a x com y fixo, obtemos\r
1 = v_x \ln u + v\,\frac{1}{u}\,u_x.\r
Diferenciando \;y = u \ln v\; em relação a x com y fixo, obtemos\r
0 = u_x \ln v + u\,\frac{1}{v}\,v_x.

Passo 3

Da segunda equação, isolamos u_x:\r
0 = u_x \ln v + \frac{u}{v}v_x \quad\Longrightarrow\quad u_x = -\frac{u}{v}\,\frac{v_x}{\ln v}.

Passo 4

Substituindo esse u_x na primeira equação:\r
1 = v_x \ln u + \frac{v}{u}\Bigl(-\frac{u}{v}\frac{v_x}{\ln v}\Bigr) = v_x \ln u - \frac{v_x}{\ln v} = v_x\Bigl(\ln u - \frac{1}{\ln v}\Bigr).\r
Portanto,\r
v_x = \frac{1}{\displaystyle \ln u - \frac{1}{\ln v}} = \frac{\ln v}{\ln u\,\ln v - 1}.

Resposta

v_x = \frac{\ln v}{\ln u\,\ln v - 1}.

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