(UECE - adaptado) Se f:\{1,2,3, \ldots, n\} \rightarrow \mathbb{R} é a função definida por f(x)=4(2 x-1), determine a soma de todos os números que estão na imagem de f.

Passo 1

Resumindo, temos a função \displaystyle f:\{1,2,3,\ldots,n\}\to\mathbb{R} definida por
f(x)=4(2x-1).
O que precisamos é calcular a soma de todos os valores de f(x) quando x varia de 1 a n. Para isso vamos usar propriedades de somas e a fórmula da soma dos primeiros inteiros.

Passo 2

Escrevemos a soma pedida como
\sum_{x=1}^{n}f(x) =\sum_{x=1}^{n}4(2x-1).
Como 4 é constante, podemos fatorá-lo:
\sum_{x=1}^{n}4(2x-1) =4\sum_{x=1}^{n}(2x-1).

Passo 3

Agora calculamos a soma interna
\sum_{x=1}^{n}(2x-1) =2\sum_{x=1}^{n}x\;-\;\sum_{x=1}^{n}1.
Sabemos que \displaystyle\sum_{x=1}^{n}x=\frac{n(n+1)}{2}
e \displaystyle\sum_{x=1}^{n}1=n.
Logo
\sum_{x=1}^{n}(2x-1) =2\cdot\frac{n(n+1)}{2}-n =n(n+1)-n =n^2.

Passo 4

Substituindo de volta em \displaystyle4\sum_{x=1}^{n}(2x-1), obtemos
4\cdot n^2 =4n^2.

Resposta

A soma de todos os números da imagem de f é
4n^2.

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