Um jardineiro tem que regar 60 roseiras plantadas ao longo de uma vereda retilínea e distando 1 m uma da outra. Ele enche seu regador numa fonte situada na mesma vereda, a 15 m da primeira roseira, e a cada viagem rega 3 roseiras. Começando e terminando na fonte, qual é o percurso total que ele terá que caminhar até regar todas as roseiras?

Passo 1

O problema diz que há 60 roseiras numa vereda retilínea, espaçadas de 1 m entre si, sendo a primeira a 15 m da fonte (origem). O jardineiro enche o regador na fonte, vai regar 3 roseiras por viagem e volta à fonte, até regar todas. Precisamos calcular o percurso total percorrido. Para isso, usamos a ideia de que, em cada viagem, ele anda desde a fonte até a roseira mais distante desse grupo de 3 e volta — ou seja, anda duas vezes a distância até a roseira mais longe. Como as distâncias das roseiras formam uma progressão aritmética, vamos somar esses valores.

Passo 2

Numeração das roseiras por sua distância à fonte: a roseira i está a
d_i = 15 + (i - 1)\quad (i = 1,2,\dots,60).
Como rega 3 por viagem, na k-ésima viagem ele cobre as roseiras de índice 3k-2,\,3k-1,\,3k. A mais distante desse grupo é a de índice 3k, cuja distância é
d_{3k} = 15 + (3k - 1) = 14 + 3k.
Portanto, o percurso da k-ésima viagem é
2\,d_{3k} \;=\; 2\,(14 + 3k).

Passo 3

20 viagens (pois 60/3=20). O percurso total é
\sum_{k=1}^{20} 2\,(14 + 3k) = 2 \sum_{k=1}^{20} (14 + 3k) = 2\Bigl(20\cdot14 + 3\sum_{k=1}^{20}k\Bigr).
Sabemos que \sum_{k=1}^{20}k = 20\cdot21/2 = 210. Logo,
20\cdot14 = 280,\qquad 3\cdot210 = 630,
então
\sum_{k=1}^{20}(14+3k) = 280 + 630 = 910,
e multiplicando por 2 temos
2 \times 910 = 1820.

Resposta

O jardineiro percorrerá, ao todo, 1820 metros.

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