1. (UECE). Considere um carrinho sobre trilhos em uma trajetória circular, como em um brinquedo de parque de diversões. Por questões de segurança, foi necessário duplicar o raio da trajetória sem que haja mudança na velocidade linear do carrinho. Para isso, a velocidade angular do móvel deve:
    a) dobrar de valor.
    b) ser reduzida à metade.
    c) manter-se constante.
    d) quadruplicar.

Passo 1

O enunciado diz que um carrinho descreve uma trajetória circular e que, por segurança, o raio da trajetória foi duplicado (ou seja, o raio novo é o dobro do inicial). Também diz que a velocidade linear (tangencial) do carrinho não muda. A pergunta: qual deve ser a mudança na velocidade angular do móvel? As alternativas são:
a) dobrar de valor.
b) ser reduzida à metade.
c) manter-se constante.
d) quadruplicar.

Passo 2

Definindo as grandezas e suas unidades (para ficar tudo claro):
  • v: velocidade linear (tangencial), em metros por segundo ( \text{m/s}). É a rapidez com que o carrinho percorre a borda da circunferência.
  • r: raio da trajetória, em metros ( \text{m}).
  • \omega: velocidade angular, em radianos por segundo ( \text{rad/s}). É a taxa de variação do ângulo percorrido pelo raio (como “graus por segundo”, mas em rad/s).
A relação fundamental entre essas grandezas para movimento circular uniforme é
v=\omega r.
Vou explicar rapidamente por que: se em tempo \Delta t o raio gira um ângulo \Delta\theta (em radianos), o arco percorrido é \Delta s=r\,\Delta\theta. Dividindo por \Delta t e passando ao limite, obtém-se v=r\,\dfrac{d\theta}{dt}=r\omega.

Passo 3

Escrevendo a relação para as condições iniciais:
v=\omega r \quad\Rightarrow\quad \omega=\frac{v}{r}.
Aqui \omega é a velocidade angular inicial.

Passo 4

Agora duplicaram o raio: o novo raio é r' = 2r. Como o enunciado diz que a velocidade linear v permanece a mesma, para o novo estado vale
v=\omega' r'.
Substituindo r' = 2r obtemos
v=\omega'\,(2r).
Isolando \omega':
\omega'=\frac{v}{2r}.

Passo 5

Compare \omega' com \omega. Como \omega=\dfrac{v}{r}, temos
\omega'=\frac{v}{2r}=\frac{1}{2}\cdot\frac{v}{r}=\frac{1}{2}\,\omega.
Ou seja, a velocidade angular nova é metade da velocidade angular original.

Passo 6

Um exemplo numérico rápido para fixar: se r=1\\ \text{m} e v=2\\ \text{m/s}, então \omega=\dfrac{2}{1}=2\\ \text{rad/s}. Dobrando o raio para 2\\ \text{m} e mantendo v=2\\ \text{m/s}, a nova \omega'=\dfrac{2}{2}=1\\ \text{rad/s} — exatamente metade. Em geral, se o raio é multiplicado por um fator k e v é mantido, então \omega é dividido por k.

Resposta

b) ser reduzida à metade.

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