21 - Um bloco de cobre de 50, \mathrm{~g} cuja temperatura e 4UOK e colocado em uma caixa isolada junto com um bloco de chumbo de 100 g cuja temperatura é 200 K . (a) Qual é a temperatura de equilíbrio do sistema dos dois blocos? (b) Qual é a variação da energia interna do sistema do estado inicial para o estado de equilíbrio? (c) Qual é a variação de entropia do sistema?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
  • Dados (pego do enunciado):
    • Bloco de cobre: m_{\text{Cu}} = 50\\ \mathrm{g} e temperatura inicial T_{\text{Cu,i}} = 400\\ \mathrm{K}.
    • Bloco de chumbo: m_{\text{Pb}} = 100\\ \mathrm{g} e temperatura inicial T_{\text{Pb,i}} = 200\\ \mathrm{K}.
    • A caixa é isolada: não há troca de calor com o ambiente (sistema isolado).
    • Valores de capacidade térmica (usados como constantes típicas):
      • Calor específico do cobre: c_{\text{Cu}} = 0,385\\ \mathrm{J/(g\cdot K)}.
      • Calor específico do chumbo: c_{\text{Pb}} = 0,128\\ \mathrm{J/(g\cdot K)}.
  • Perguntas do enunciado:
    (a) Qual é a temperatura de equilíbrio do sistema dos dois blocos?
    (b) Qual é a variação da energia interna do sistema do estado inicial para o estado de equilíbrio?
    (c) Qual é a variação de entropia do sistema?

Passo 2

Entendendo fisicamente e escolhendo o método (muito didático).
  • Como a caixa é isolada, o calor perdido por um bloco é exatamente o calor ganho pelo outro: energia interna total do sistema é conservada. Isso nos dá a equação de conservação de energia térmica (primeira lei, sem trabalho e sem calor para fora): Q_{\text{perdido}}+Q_{\text{ganho}}=0.
  • Para um corpo com calor específico constante c, massa m e variação de temperatura de T_i para T_f, o calor trocado (ou variação da energia interna do corpo) é Q = m\,c\,(T_f-T_i).Aqui Q>0 significa ganho de energia térmica; Q<0 significa perda.
  • Aplicaremos isso aos dois blocos e usaremos conservação de energia para achar a temperatura de equilíbrio T_{\text{eq}}.

Passo 3

Cálculo da temperatura de equilíbrio T_{\text{eq}}.
  • Escrevendo a conservação de energia para os dois blocos: m_{\text{Cu}}\,c_{\text{Cu}}\,(T_{\text{eq}}-T_{\text{Cu,i}})+m_{\text{Pb}}\,c_{\text{Pb}}\,(T_{\text{eq}}-T_{\text{Pb,i}})=0.
  • Isolando T_{\text{eq}} obtemos a média ponderada: T_{\text{eq}}=\frac{m_{\text{Cu}}\,c_{\text{Cu}}\,T_{\text{Cu,i}}+m_{\text{Pb}}\,c_{\text{Pb}}\,T_{\text{Pb,i}}} {m_{\text{Cu}}\,c_{\text{Cu}}+m_{\text{Pb}}\,c_{\text{Pb}}}.
  • Agora substituindo os números (tudo em unidades coerentes: massa em gramas, c em \mathrm{J/(g\cdot K)}, temperaturas em K): m_{\text{Cu}}\,c_{\text{Cu}}=50\cdot0,385=19{,}25\\ \mathrm{J/K},
m_{\text{Pb}}\,c_{\text{Pb}}=100\cdot0,128=12{,}8\\ \mathrm{J/K}.
m_{\text{Cu}}\,c_{\text{Cu}}\,T_{\text{Cu,i}}=19{,}25\cdot400=7700\\ \mathrm{J},
m_{\text{Pb}}\,c_{\text{Pb}}\,T_{\text{Pb,i}}=12{,}8\cdot200=2560\\ \mathrm{J}.
T_{\text{eq}}=\frac{7700+2560}{19{,}25+12{,}8}=\frac{10260}{32{,}05}\approx320{,}12\\ \mathrm{K}.
  • Comentário prático: T_{\text{eq}} fica entre 200 K e 400 K, mais próximo de 400 K porque o cobre, apesar de ter metade da massa do chumbo, tem calor específico maior e (neste caso) a contribuição calorífica do cobre é maior que a do chumbo.

Passo 4

Variação da energia interna do sistema (parte b).
  • A energia interna total do sistema isolado não muda: todo calor perdido por um corpo é ganho pelo outro. Portanto: \Delta U_{\text{sistema}}=0.
  • Para ilustrar (opcional, para tirar dúvida na prova): variação de energia interna de cada bloco \Delta U_{\text{Cu}}=m_{\text{Cu}}\,c_{\text{Cu}}\,(T_{\text{eq}}-T_{\text{Cu,i}}) =19{,}25\cdot(320{,}12-400)\approx-1537{,}8\\ \mathrm{J},
\Delta U_{\text{Pb}}=m_{\text{Pb}}\,c_{\text{Pb}}\,(T_{\text{eq}}-T_{\text{Pb,i}}) =12{,}8\cdot(320{,}12-200)\approx+1537{,}8\\ \mathrm{J},
e a soma dá zero (até pequenas diferenças por arredondamento).

Passo 5

Entropia: conceito e fórmula a usar.
  • Entropia S mede a “dispersão” de energia; para um corpo que troca calor de forma reversível e com calor específico constante, a variação de entropia ao passar de T_i para T_f é \Delta S = \int_{T_i}^{T_f}\frac{dQ_{\text{rev}}}{T}=\int_{T_i}^{T_f}\frac{m\,c\,dT}{T}=m\,c\,\ln\!\left(\frac{T_f}{T_i}\right).
  • Aqui m é a massa, c o calor específico (constante) e as temperaturas em Kelvin. Essa expressão vale porque assumimos calor específico praticamente constante no intervalo de temperatura dado (aproximação usual para sólidos em problemas desse tipo).

Passo 6

Cálculo numérico da variação total de entropia do sistema (parte c).
  • Para o cobre: \Delta S_{\text{Cu}}=m_{\text{Cu}}\,c_{\text{Cu}}\, \ln\!\left(\frac{T_{\text{eq}}}{T_{\text{Cu,i}}}\right) =19{,}25\cdot\ln\!\left(\frac{320{,}12}{400}\right).Calculando: \frac{320{,}12}{400}=0{,}8003,\qquad \ln(0{,}8003)\approx-0{,}2223,
\Delta S_{\text{Cu}}\approx19{,}25\cdot(-0{,}2223)\approx-4{,}28\\ \mathrm{J/K}.
  • Para o chumbo: \Delta S_{\text{Pb}}=m_{\text{Pb}}\,c_{\text{Pb}}\, \ln\!\left(\frac{T_{\text{eq}}}{T_{\text{Pb,i}}}\right) =12{,}8\cdot\ln\!\left(\frac{320{,}12}{200}\right).Calculando: \frac{320{,}12}{200}=1{,}6006,\qquad \ln(1{,}6006)\approx0{,}4700,
\Delta S_{\text{Pb}}\approx12{,}8\cdot0{,}4700\approx6{,}02\\ \mathrm{J/K}.
  • Entropia total do sistema:
    \Delta S_{\text{total}}=\Delta S_{\text{Cu}}+\Delta S_{\text{Pb}} \approx-4{,}28+6{,}02=1{,}74\\ \mathrm{J/K}.
  • Interpretação: entropia aumentou (positivo), consistente com o fato do processo espontâneo de equilíbrio irreversível dentro de um sistema isolado aumentar a entropia total.

Resposta

(a) T_{\text{eq}} \approx 320{,}12\\ \mathrm{K}
(b) \Delta U_{\text{sistema}} = 0\\ \mathrm{J}
(c) \Delta S_{\text{sistema}} \approx 1{,}74\\ \mathrm{J/K}

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