(Uel 99) Se um círculo de 5 cm de raio está inscrito em um hexágono regular, o perímetro do hexágono, em centímetros, é igual a
a) 20 \sqrt{ } 3
b) 18 \sqrt{ } 3
c) 15 \sqrt{ } 2
d) 12 \sqrt{ } 3
e) 9 \sqrt{ } 2

Passo 1

O enunciado diz que um círculo de raio \,5 cm está inscrito num hexágono regular. Num polígono regular, o raio da circunferência inscrita é justamente o apótema do polígono. Queremos o perímetro do hexágono, sabendo que o apótema vale \,5 cm.

Passo 2

Em todo hexágono regular de lado s, o apótema a está relacionado a s por
a = \frac{\sqrt{3}}{2}\,s.

Passo 3

Como a=5, temos
5 = \frac{\sqrt{3}}{2}\,s \quad\Longrightarrow\quad s = \frac{2\cdot5}{\sqrt{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}}.

Passo 4

O perímetro P é 6 vezes o lado:
P = 6\,s = 6\cdot\frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{60}{\sqrt{3}} = \frac{60\sqrt{3}}{3} = 20\sqrt{3}.

Resposta

20\sqrt{3}

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