(Uel 99) Se um círculo de 5 cm de raio está inscrito em um hexágono regular, o perímetro do hexágono, em centímetros, é igual a
a) 20 \sqrt{ } 3
b) 18 \sqrt{ } 3
c) 15 \sqrt{ } 2
d) 12 \sqrt{ } 3
e) 9 \sqrt{ } 2

Passo 1

O enunciado diz que um círculo de raio 5 cm está inscrito num hexágono regular. Nesse caso, esse raio é o apótema do hexágono. Para resolver, precisamos usar a relação entre apótema r e lado a de um polígono regular de n lados:
r = \frac{a}{2\tan\bigl(\tfrac{\pi}{n}\bigr)}.

Passo 2

Aqui n=6. Como \tan\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\tfrac{1}{\sqrt{3}}, temos
r = \frac{a}{2\,(1/\sqrt{3})} = a\;\frac{\sqrt{3}}{2} \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{2r}{\sqrt{3}}.

Passo 3

Substituindo r=5:
a = \frac{2\cdot5}{\sqrt{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}\text{ cm}.

Passo 4

O perímetro do hexágono é P=6a. Logo,
P = 6 \cdot \frac{10\sqrt{3}}{3} = 20\sqrt{3}\text{ cm}.

Passo 5

A opção que corresponde a 20\sqrt{3} é a letra (a).

Resposta

(a)

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