(UEL-PR) Numa sala há algumas pessoas reunidas, 10 das quais são mulheres. Se, com os presentes, podem ser formadas 7920 comissões de 5 pessoas, cada qual contendo exatamente 3 mulheres, o número de homens na sala é:
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
e) 14

Passo 1

O enunciado diz que há 10 mulheres e um número desconhecido M de homens. De todos os presentes formam-se comissões de 5 pessoas contendo exatamente 3 mulheres, e o total de comissões assim formadas é 7920. Vamos usar combinações para contar essas comissões.

Passo 2

Para cada comissão com exatamente 3 mulheres, escolhemos 3 entre as 10 mulheres e 2 entre os M homens. Logo, o número de comissões é
\binom{10}{3}\,\binom{M}{2}.

Passo 3

Impondo que esse total seja 7920, escrevemos
\binom{10}{3}\,\binom{M}{2} = 7920.
Como \binom{10}{3}=120, temos
120\;\binom{M}{2}=7920 \quad\Longrightarrow\quad \binom{M}{2}=66.

Passo 4

Pela definição de combinação,
\binom{M}{2}=\frac{M(M-1)}{2}=66 \quad\Longrightarrow\quad M(M-1)=132.
Isso gera a equação
M^2 - M - 132 = 0,
cuja raiz positiva é
M=\frac{1+\sqrt{1+528}}{2}=\frac{1+23}{2}=12.

Resposta

12

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