(UEL-PR) Numa sala há algumas pessoas reunidas, 10 das quais são mulheres. Se, com os presentes, podem ser formadas 7920 comissões de 5 pessoas, cada qual contendo exatamente 3 mulheres, o número de homens na sala é:
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
e) 14
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
e) 14
Passo 1
O enunciado diz que há
mulheres e um número desconhecido
de homens. De todos os presentes formam-se comissões de
pessoas contendo exatamente
mulheres, e o total de comissões assim formadas é
. Vamos usar combinações para contar essas comissões.
Passo 2
Para cada comissão com exatamente
mulheres, escolhemos
entre as
mulheres e
entre os
homens. Logo, o número de comissões é
Passo 3
Impondo que esse total seja
, escrevemos
Como
, temos
Passo 4
Pela definição de combinação,
Isso gera a equação
cuja raiz positiva é
Resposta
12