(UFAL) A expressão N(t) = 1500 * 2^(0,2 t) permite o cálculo do número de bactérias existentes em uma cultura, ao completar t horas do início de sua observação t = 0. Após quantas horas da primeira observação haverá 250000 bactérias nessa cultura? Dados log 2 = 0.30 e log 3 = 0.48.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala que o número de bactérias em uma cultura é dado por , onde é o tempo em horas. Precisamos descobrir após quantas horas haverá 250.000 bactérias. Para isso, vamos usar conhecimentos de exponenciais e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação com o valor que queremos encontrar:
O objetivo aqui é encontrar .

Passo 3

Vamos isolar o termo exponencial. Para isso, dividimos os dois lados por 1500:

Passo 4

Agora, para resolver a equação exponencial, usamos logaritmos. Aplicamos o logaritmo nos dois lados da equação. Vou usar o logaritmo de base 10:

Passo 5

Lembrando que , aplicamos essa regra:
Sabemos que , então substituímos:

Passo 6

Precisamos calcular . Podemos quebrar esse logaritmo:
Sabemos que e . Como e , e :
Então,

Passo 7

Agora voltamos à equação:
Multiplicando os termos da direita:
Para encontrar , dividimos os dois lados por 0,06:

Resposta

Após aproximadamente 37 horas, haverá 250.000 bactérias nessa cultura.

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