- (UFAM) O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao número de vértices. Então, qual o número de faces do poliedro?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
-
Informações dadas:
- O poliedro é convexo.
- O número de arestas é
. - O número de faces é igual ao número de vértices (ou seja,
).
-
Pergunta:
- Qual é o número de faces do poliedro?
Passo 2
Vamos aprender a fórmula que vamos usar (e entender o porquê ela é aplicável aqui).
A relação clássica que liga vértices, arestas e faces de um poliedro convexo é a fórmula de Euler:
Nessa fórmula:
-
é o número de vértices do poliedro; -
é o número de arestas; -
é o número de faces.
Por que essa fórmula vale (resumo intuitivo)? Um poliedro convexo pode ser projetado sobre a esfera e “esticado” até ver seu grafo planar: cada vértice, aresta e face do poliedro correspondem a vértices, arestas e regiões de um grafo planar conectado. A teoria dos grafos planares mostra que, para esse tipo de desenho ligado sem “buracos”, a relação acima é válida — e ela é válida para qualquer poliedro convexo. Para ganhar confiança, veja dois exemplos rápidos:
- Tetraedro:
, , . Verificação: . - Cubo:
, , . Verificação: .
Como nosso poliedro é convexo, podemos usar com segurança a fórmula de Euler.
Passo 3
Agora aplicamos os dados do enunciado na fórmula de Euler.
Sabemos que
e que
. Para simplificar, chamo esse número comum de
:
Substituindo na fórmula de Euler:
Agora resolvo essa equação passo a passo:
Somando
em ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por
:
Portanto encontramos
. Para checar, substituímos de volta na fórmula:
que confirma que está correto.