1. (UFAM) O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao número de vértices. Então, qual o número de faces do poliedro?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Informações dadas:
    • O poliedro é convexo.
    • O número de arestas é 22.
    • O número de faces é igual ao número de vértices (ou seja, F = V).
  • Pergunta:
    • Qual é o número de faces do poliedro?

Passo 2

Vamos aprender a fórmula que vamos usar (e entender o porquê ela é aplicável aqui).
A relação clássica que liga vértices, arestas e faces de um poliedro convexo é a fórmula de Euler:
V - E + F = 2.
Nessa fórmula:
  • V é o número de vértices do poliedro;
  • E é o número de arestas;
  • F é o número de faces.
Por que essa fórmula vale (resumo intuitivo)? Um poliedro convexo pode ser projetado sobre a esfera e “esticado” até ver seu grafo planar: cada vértice, aresta e face do poliedro correspondem a vértices, arestas e regiões de um grafo planar conectado. A teoria dos grafos planares mostra que, para esse tipo de desenho ligado sem “buracos”, a relação acima é válida — e ela é válida para qualquer poliedro convexo. Para ganhar confiança, veja dois exemplos rápidos:
  • Tetraedro: V=4, E=6, F=4. Verificação: 4-6+4=2.
  • Cubo: V=8, E=12, F=6. Verificação: 8-12+6=2.
Como nosso poliedro é convexo, podemos usar com segurança a fórmula de Euler.

Passo 3

Agora aplicamos os dados do enunciado na fórmula de Euler.
Sabemos que E=22 e que F=V. Para simplificar, chamo esse número comum de x:
V = x,\qquad F = x,\qquad E = 22.
Substituindo na fórmula de Euler:
V - E + F = 2
x - 22 + x = 2.
Agora resolvo essa equação passo a passo:
x - 22 + x = 2 \Rightarrow 2x - 22 = 2.
Somando 22 em ambos os lados:
2x = 2 + 22 = 24.
Dividindo ambos os lados por 2:
x = \frac{24}{2} = 12.
Portanto encontramos x=12. Para checar, substituímos de volta na fórmula:
V - E + F = 12 - 22 + 12 = 2,
que confirma que está correto.

Resposta

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