Se Q=[2,3] \times[2,3], determinar o valor da integral dupla
\iint_{Q} \frac{1}{(2 x+y-3)^{2}} d x d y .

Passo 1

O enunciado dá o quadrado Q = [2,3]\times[2,3] e pede o valor da integral dupla
\iint_{Q} \frac{1}{(2x+y-3)^{2}}\,dx\,dy.
Informações relevantes:
  • As variáveis x e y variam independentemente em [2,3].
  • O integrando é \frac{1}{(2x+y-3)^{2}}.
  • Verifico se há singularidade (divisão por zero) dentro de Q: para (x,y)\in Q temos 2x+y-3 \ge 2\cdot2+2-3=3>0. Logo o integrando é contínuo em Q e a integral é bem definida.

Passo 2

Escolho integrar primeiro em x (integração iterada). Motivo didático: a derivada em x de 1/(2x+y-3) dá algo proporcional ao integrando, o que simplifica muito a integral em x. Vou usar a identidade
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2x+y-3}\right) = -\frac{2}{(2x+y-3)^{2}}.
Daí segue que
\frac{1}{(2x+y-3)^{2}} = -\frac{1}{2}\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2x+y-3}\right).
Explico: derivar 1/(2x+y-3) em relação a x usa a regra da cadeia; a derivada do denominador 2x+y-3 em relação a x é 2, e o sinal vem da derivada de u^{-1} que é -u^{-2}u'.

Passo 3

Calculo a integral interna em x:
\int_{x=2}^{3}\frac{1}{(2x+y-3)^{2}}\,dx = -\frac{1}{2}\int_{2}^{3}\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{2x+y-3}\right)\,dx.
Integrando a derivada obtemos a avaliação nos limites:
-\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2x+y-3}\right]_{x=2}^{x=3} = -\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2\cdot3+y-3}-\frac{1}{2\cdot2+y-3}\right).
Simplifico os termos: 2\cdot3+y-3 = y+3 e 2\cdot2+y-3 = y+1. Portanto
-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{y+3}-\frac{1}{y+1}\right).
Faço a álgebra para simplificar:
-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{y+3}-\frac{1}{y+1}\right) = -\frac{1}{2}\cdot\frac{(y+1)-(y+3)}{(y+3)(y+1)} = -\frac{1}{2}\cdot\frac{-2}{(y+3)(y+1)} = \frac{1}{(y+3)(y+1)}.
Logo a integral dupla reduz-se a uma integral simples em y:
\iint_{Q}\frac{1}{(2x+y-3)^{2}}\,dx\,dy = \int_{y=2}^{3}\frac{1}{(y+3)(y+1)}\,dy.

Passo 4

Para integrar \displaystyle \int_{2}^{3}\frac{1}{(y+3)(y+1)}\,dy uso frações parciais. Procuro constantes A,B tais que
\frac{1}{(y+1)(y+3)} = \frac{A}{y+1}+\frac{B}{y+3}.
Multiplicando por (y+1)(y+3) obtemos
1 = A(y+3)+B(y+1) = (A+B)y + (3A+B).
Comparando coeficientes: A+B=0 e 3A+B=1. Daí B=-A e 3A-A=1\Rightarrow 2A=1\Rightarrow A=\tfrac{1}{2}, B=-\tfrac{1}{2}. Portanto
\frac{1}{(y+1)(y+3)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{y+1}-\frac{1}{y+3}\right).

Passo 5

Integral das frações parciais:
\int_{2}^{3}\frac{1}{(y+3)(y+1)}\,dy = \frac{1}{2}\int_{2}^{3}\left(\frac{1}{y+1}-\frac{1}{y+3}\right)\,dy.
Integrando logaritmicamente:
\frac{1}{2}\left[\ln(y+1)-\ln(y+3)\right]_{y=2}^{y=3}.
Avalio nos limites:
  • Em y=3: \ln(3+1)-\ln(3+3)=\ln 4-\ln 6=\ln\!\left(\tfrac{4}{6}\right)=\ln\!\left(\tfrac{2}{3}\right).
  • Em y=2: \ln(2+1)-\ln(2+3)=\ln 3-\ln 5=\ln\!\left(\tfrac{3}{5}\right).
    Subtraindo e multiplicando por \tfrac{1}{2}:
\frac{1}{2}\Big(\ln\!\left(\tfrac{2}{3}\right)-\ln\!\left(\tfrac{3}{5}\right)\Big) = \frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{2/3}{3/5}\right) = \frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{3}\right) = \frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{10}{9}\right).

Passo 6

Concluo que o valor da integral dupla é
\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{10}{9}\right).
É um número positivo pequeno (faz sentido: integrando uma função positiva).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{10}{9}\right)

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