Se
, determinar o valor da integral dupla
Passo 1
O enunciado dá o quadrado
e pede o valor da integral dupla
Informações relevantes:
- As variáveis
e variam independentemente em . - O integrando é
. - Verifico se há singularidade (divisão por zero) dentro de
: para temos . Logo o integrando é contínuo em e a integral é bem definida.
Passo 2
Escolho integrar primeiro em
(integração iterada). Motivo didático: a derivada em
de
dá algo proporcional ao integrando, o que simplifica muito a integral em
. Vou usar a identidade
Daí segue que
Explico: derivar
em relação a
usa a regra da cadeia; a derivada do denominador
em relação a
é
, e o sinal vem da derivada de
que é
.
Passo 3
Calculo a integral interna em
:
Integrando a derivada obtemos a avaliação nos limites:
Simplifico os termos:
e
. Portanto
Faço a álgebra para simplificar:
Logo a integral dupla reduz-se a uma integral simples em
:
Passo 4
Para integrar
uso frações parciais. Procuro constantes
tais que
Multiplicando por
obtemos
Comparando coeficientes:
e
. Daí
e
,
. Portanto
Passo 5
Integral das frações parciais:
Integrando logaritmicamente:
Avalio nos limites:
- Em
: - Em
:
Subtraindo e multiplicando por:
Passo 6
Concluo que o valor da integral dupla é
É um número positivo pequeno (faz sentido: integrando uma função positiva).