(UFV/2003) A representação no plano complexo dos números tais que a parte real de
é igual a 2 é uma: R: Hipérbole.
Passo 1
O enunciado dá a condição sobre um número complexo
: a parte real de
é igual a
.
O que nos pedem é a representação geométrica (o lugar geométrico) no plano complexo dos pontos que satisfazem essa condição.
Informações relevantes fornecidas: a única equação dada é
O que nos pedem é a representação geométrica (o lugar geométrico) no plano complexo dos pontos
Informações relevantes fornecidas: a única equação dada é
Passo 2
Vamos escrever o número complexo
em termos de suas coordenadas reais e imaginárias: seja
onde
e
são números reais,
e
.
Isto é padrão: qualquer ponto do plano complexo corresponde ao par .
Isto é padrão: qualquer ponto do plano complexo corresponde ao par
Passo 3
Agora calculamos
. Usamos a regra de multiplicação de binômios e a propriedade
:
Expliquei cada termo:
e
vêm da expansão, e
.
Passo 4
A parte real de
é o coeficiente sem
, ou seja
Pela condição do enunciado, igualamos isso a
:
Passo 5
A equação
é uma equação de segundo grau em
e
. Para reconhecer o tipo de curva, colocamos na forma padrão dividindo por
:
Esta é precisamente a forma canonica de uma hipérbole centrada na origem com eixo transverso ao longo do eixo
. A forma geral de uma hipérbole com centro na origem e abertura horizontal é
assim aqui temos
e
.
Passo 6
Interpretações úteis para a prova (decorações práticas):
- Vértices:
. São os pontos mais próximos da origem sobre a hipérbole. - Focos: estão em
com , logo ; foci em . - Assíntotas: as retas que a hipérbole se aproxima quando
são dadas por
Portanto as assíntotas são
.
Passo 7
Alguns pontos concretos para treinar: se
então
e os pontos
pertencem; se
então
e os pontos
pertencem. A curva é simétrica em relação aos eixos coordenados e ao ponto origem (simetria par), abre para a esquerda e direita ao longo do eixo
.
Passo 8
Conclusão prática: a equação do lugar geométrico é
, que é a equação de uma hipérbole centrada na origem, com vértices em
, focos em
e assíntotas
. Portanto a representação pedida é uma hipérbole.
Resposta
Hipérbole