Qual o lugar geométrico que descreve o afixo do número complexo z para que os afixos de z, iz e i estejam alinhados?

Passo 1

O enunciado pide: encontrar o lugar geométrico dos afixos do número complexo z tais que os afixos de z, iz e i estejam alinhados.
Informações dadas e o que precisamos usar explicitamente:
  • Temos um número complexo z (desconhecido) e os complexos iz e i.
  • “Afixos alinhados” significa que os pontos representados por esses complexos no plano complexo estão sobre a mesma reta.
  • Devemos determinar a curva (lugar geométrico) no plano onde z deve estar para que essa condição ocorra.
  • Podemos escrever z na forma cartesiana \;z=x+iy\; com x,y\in\mathbb{R}.
A resolução começa a seguir.

Passo 2

Escrevemos z em coordenadas e calculamos iz. Seja
z = x + iy.
Multiplicando por i obtemos
iz = i(x+iy) = ix + i^2 y = ix - y = -y + i x.
Assim os pontos no plano correspondentes a z, iz e i têm coordenadas:
  • z \leftrightarrow (x,y);
  • iz \leftrightarrow (-y,x);
  • i \leftrightarrow (0,1).

Passo 3

Para três pontos (x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3) serem colineares, uma condição simples é que as inclinações (declives) entre pares sejam iguais (quando bem definidas). Aqui igualamos o declive da reta que liga i a z com o declive da reta que liga i a iz. O declive de i(0,1) para z(x,y) é
\frac{y-1}{x}
(se x\neq 0). O declive de i(0,1) para iz(-y,x) é
\frac{x-1}{-y} = -\frac{x-1}{y}
(se y\neq 0). Igualando os declives (caso geral onde não dividimos por zero),
\frac{y-1}{x} = -\frac{x-1}{y}.
Obs.: se x=0 ou y=0 temos situações degeneradas (algumas retas verticais/horizontais), mas a equação final que obteremos valerá também nesses casos; vamos tratar a equação algebricamente e depois verificar que inclui todos os casos.

Passo 4

Multiplicamos em cruz para eliminar divisões:
y(y-1) = -x(x-1).
Desenvolvendo os produtos:
y^2 - y = -x^2 + x.
Colocamos todos os termos no lado esquerdo:
x^2 + y^2 - x - y = 0.

Passo 5

Agora completamos quadrados para reconhecer a curva geométrica. Escrevemos
x^2 - x + y^2 - y = 0.
Completa-se o quadrado em x e em y adicionando e subtraindo \tfrac{1}{4} em cada um:
\left(x^2 - x + \tfrac{1}{4}\right) + \left(y^2 - y + \tfrac{1}{4}\right) - \tfrac{1}{4} - \tfrac{1}{4} = 0.
Ou seja,
\left(x-\tfrac{1}{2}\right)^2 + \left(y-\tfrac{1}{2}\right)^2 - \tfrac{1}{2} = 0,
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\left(x-\tfrac{1}{2}\right)^2 + \left(y-\tfrac{1}{2}\right)^2 = \tfrac{1}{2}.

Passo 6

Interpretamos geometricamente: a equação obtida é a de uma circunferência com centro em \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right) e raio
r=\sqrt{\tfrac{1}{2}}=\tfrac{1}{\sqrt{2}}.
Em termos de complexos, o centro \tfrac{1}{2}+\tfrac{i}{2} é \tfrac{1+i}{2}, então a condição pode ser escrita como
\left|z-\tfrac{1+i}{2}\right|=\tfrac{1}{\sqrt{2}}.
Verificação rápida de pontos especiais: z=i (ou seja (0,1)) satisfaz a equação (está na circunferência), assim como z=0 também (extremo degenerado antigo), então nossa solução inclui os casos degenerados comentados.

Resposta

\left|z-\tfrac{1+i}{2}\right|=\tfrac{1}{\sqrt{2}}

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