- (Gere) Um disco circular rígido de raio
rotaciona com velocidade angular constante
sobre um eixo através de seu centro C como mostra a figura.Seis laminas prismáticas idênticas, cada uma de comprimento L, estão projetadas radialmente para fora do disco. Deduza a formula a seguir para o alongamento de uma lâmina devido aos efeitos centrífugos:
em que
e E representam a densidade de massa (massa por unidade de volume) e o módulo de elasticidade, respectivamente, do material.
Passo 1
O enunciado dá um disco circular rígido de raio
que gira com velocidade angular constante
. Seis lâminas prismáticas idênticas, cada uma de comprimento
, estão montadas radialmente no disco e projetam-se para fora, conforme a figura. O problema pede para deduzir a fórmula do alongamento
de uma lâmina devido às forças centrífugas:
onde
é a densidade de massa do material (massa por unidade de volume) e
é o módulo de elasticidade. \n
Informações relevantes que temos e vamos usar: \n
Informações relevantes que temos e vamos usar: \n
- cada lâmina é prismática (área da secção transversal é constante, chamemos de
); \n - a lâmina tem comprimento
medido a partir do bordo do disco (ponto preso) até a ponta; \n - a posição radial de um ponto da lâmina, medido a partir do centro do disco, é
se é a distância desde a raiz da lâmina ( na raiz, na ponta); \n - a força centrífuga age como uma força distribuída ao longo da lâmina, proporcional à massa local e a
. \n
A resolução começa a partir daqui.
Passo 2
Modelo elementar e expressão da força centrífuga num elemento. \n
Cortamos a lâmina em um elemento de comprimento infinitesimal localizado na posição
(medida a partir da raiz). A massa desse elemento é
Cortamos a lâmina em um elemento de comprimento infinitesimal
onde
é a área da secção transversal (constante). A força centrífuga sobre esse elemento, dirigida radialmente para fora, é
Aqui explico: a aceleração centrífuga em distância
do centro é
; multiplicando pela massa do elemento obtemos a força sobre ele.
Passo 3
Tensão interna (força axial) em uma seção a uma distância
da raiz. \n
A tensão (força axial, ou tração) numa seção transversal situada em resulta da soma (integral) das forças centrifugas de todos os elementos mais externos, ou seja das posições
entre
e
. Assim a força de tração
nessa seção é
A tensão (força axial, ou tração) numa seção transversal situada em
Vamos calcular essa integral explicitamente. \n
Integrando,
Integrando,
Expliquei: integramos
.
Passo 4
Stress e deformação local (Lei de Hooke). \n
O esforço normal (tensão) na seção em é
. Pela Lei de Hooke em tração uniaxial, a deformação axial (strain) local
é
O esforço normal (tensão) na seção em
Substituindo
da expressão anterior e simplificando
, obtemos
Observação importante: note que
, por isso a área
desaparece nesta expressão — isso significa que a fórmula final depende de
e
, não de
.
Passo 5
Alongamento total da lâmina: integrar a deformação ao longo do comprimento. \n
O alongamento total é a integral da deformação ao longo de
de
a
:
O alongamento total
Agora calculamos as integrais separadamente, com passos claros.
Passo 6
Cálculo das integrais componentes. \n
Primeira integral:
Primeira integral:
Segunda integral:
Somando as partes:
Passo 7
Obter a expressão final para
. \n
Substituindo o resultado da integral em temos
Substituindo o resultado da integral em
Colocando em evidência
e reduzindo ao denominador comum
:
Isto coincide com a fórmula pedida. Nota: como as seis lâminas são idênticas, cada uma sofre o mesmo alongamento dado acima; não há acoplamento na extensão de lâmina para lâmina nessa idealização.