1. (Gere) Um disco circular rígido de raio R rotaciona com velocidade angular constante \omega sobre um eixo através de seu centro C como mostra a figura.Seis laminas prismáticas idênticas, cada uma de comprimento L, estão projetadas radialmente para fora do disco. Deduza a formula a seguir para o alongamento de uma lâmina devido aos efeitos centrífugos:
\delta=\frac{\rho \omega^{2} L^{2}}{6 E}(3 R+2 L)
em que \rho e E representam a densidade de massa (massa por unidade de volume) e o módulo de elasticidade, respectivamente, do material.

Passo 1

O enunciado dá um disco circular rígido de raio R que gira com velocidade angular constante \omega. Seis lâminas prismáticas idênticas, cada uma de comprimento L, estão montadas radialmente no disco e projetam-se para fora, conforme a figura. O problema pede para deduzir a fórmula do alongamento \delta de uma lâmina devido às forças centrífugas:
\delta=\frac{\rho \omega^{2} L^{2}}{6 E}(3 R+2 L),
onde \rho é a densidade de massa do material (massa por unidade de volume) e E é o módulo de elasticidade. \n
Informações relevantes que temos e vamos usar: \n
  • cada lâmina é prismática (área da secção transversal é constante, chamemos de A); \n
  • a lâmina tem comprimento L medido a partir do bordo do disco (ponto preso) até a ponta; \n
  • a posição radial de um ponto da lâmina, medido a partir do centro do disco, é r=R+x se x é a distância desde a raiz da lâmina ( x=0 na raiz, x=L na ponta); \n
  • a força centrífuga age como uma força distribuída ao longo da lâmina, proporcional à massa local e a \omega^{2} r. \n
    A resolução começa a partir daqui.

Passo 2

Modelo elementar e expressão da força centrífuga num elemento. \n
Cortamos a lâmina em um elemento de comprimento infinitesimal dx localizado na posição x (medida a partir da raiz). A massa desse elemento é
dm=\rho A\,dx,
onde A é a área da secção transversal (constante). A força centrífuga sobre esse elemento, dirigida radialmente para fora, é
dF = dm\cdot \omega^{2} r = \rho A\,dx\cdot \omega^{2}(R+x).
Aqui explico: a aceleração centrífuga em distância r do centro é \omega^{2} r; multiplicando pela massa do elemento obtemos a força sobre ele.

Passo 3

Tensão interna (força axial) em uma seção a uma distância x da raiz. \n
A tensão (força axial, ou tração) numa seção transversal situada em x resulta da soma (integral) das forças centrifugas de todos os elementos mais externos, ou seja das posições s entre s=x e s=L. Assim a força de tração T(x) nessa seção é
T(x)=\int_{s=x}^{L} dF(s) = \int_{s=x}^{L} \rho A \,\omega^{2}(R+s)\,ds.
Vamos calcular essa integral explicitamente. \n
Integrando,
T(x)=\rho A \,\omega^{2}\left[ R(L-x) + \tfrac{1}{2}(L^{2}-x^{2})\right].
Expliquei: integramos \int_x^L (R+s)\,ds = R(L-x) + \tfrac{1}{2}(L^2-x^2).

Passo 4

Stress e deformação local (Lei de Hooke). \n
O esforço normal (tensão) na seção em x é \sigma(x)=\dfrac{T(x)}{A}. Pela Lei de Hooke em tração uniaxial, a deformação axial (strain) local \varepsilon(x) é
\varepsilon(x)=\frac{\sigma(x)}{E}=\frac{T(x)}{A E}.
Substituindo T(x) da expressão anterior e simplificando A, obtemos
\varepsilon(x)=\frac{\rho \omega^{2}}{E}\left[ R(L-x) + \tfrac{1}{2}(L^{2}-x^{2})\right].
Observação importante: note que \rho A/A=\rho, por isso a área A desaparece nesta expressão — isso significa que a fórmula final depende de \rho e E, não de A.

Passo 5

Alongamento total da lâmina: integrar a deformação ao longo do comprimento. \n
O alongamento total \delta é a integral da deformação ao longo de x de 0 a L:
\delta=\int_{0}^{L}\varepsilon(x)\,dx = \frac{\rho \omega^{2}}{E}\int_{0}^{L}\left[ R(L-x) + \tfrac{1}{2}(L^{2}-x^{2})\right]dx.
Agora calculamos as integrais separadamente, com passos claros.

Passo 6

Cálculo das integrais componentes. \n
Primeira integral:
\int_{0}^{L} R(L-x)\,dx = R\left[ Lx - \tfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{L} = R\left(L^{2}-\tfrac{L^{2}}{2}\right)=\tfrac{1}{2}R L^{2}.
Segunda integral:
\tfrac{1}{2}\int_{0}^{L} (L^{2}-x^{2})\,dx = \tfrac{1}{2}\left[ L^{2}x - \tfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{L} = \tfrac{1}{2}\left(L^{3}-\tfrac{L^{3}}{3}\right)=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{2}{3}L^{3}=\tfrac{1}{3}L^{3}.
Somando as partes:
\int_{0}^{L}\left[ R(L-x) + \tfrac{1}{2}(L^{2}-x^{2})\right]dx = \tfrac{1}{2}R L^{2} + \tfrac{1}{3}L^{3}.

Passo 7

Obter a expressão final para \delta. \n
Substituindo o resultado da integral em \delta temos
\delta=\frac{\rho \omega^{2}}{E}\left(\tfrac{1}{2}R L^{2} + \tfrac{1}{3}L^{3}\right).
Colocando em evidência L^{2} e reduzindo ao denominador comum 6:
\delta=\frac{\rho \omega^{2} L^{2}}{6E}\left(3R+2L\right).
Isto coincide com a fórmula pedida. Nota: como as seis lâminas são idênticas, cada uma sofre o mesmo alongamento dado acima; não há acoplamento na extensão de lâmina para lâmina nessa idealização.

Resposta

\delta=\frac{\rho \omega^{2} L^{2}}{6 E}(3 R+2 L)

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