1. (UnB 2/2018-adaptado) Considere um circuito elétrico com um resistor de 2 ohms ligado em paralelo a outro de resistência variável R>0. Nesse caso, a resistência total f(R) do circuito satisfaz:
\frac{1}{f(R)}=\frac{1}{2}+\frac{1}{R}
(a) Calcule o valor da resistência total, para R=3.
(b) Obtenha a expressão de f(R) em função de R.
(c) Mostre que f(R) é injetiva e determine sua a função inversa.

Passo 1

O enunciado traz um circuito com um resistor de 2\\ \Omega em paralelo com outro de resistência variável R>0, cuja resistência total f(R) satisfaz
\frac{1}{f(R)} = \frac{1}{2} + \frac{1}{R}.
Pede-se
(a) calcular f(3),
(b) obter a expressão de f(R) em função de R,
(c) mostrar que f é injetiva e determinar f^{-1}.
Para isso vamos usar manipulação de frações, derivada para monotonicidade e resolução de equação para inversão.

Passo 2

Para R=3 temos
\frac{1}{f(3)} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3+2}{6} = \frac{5}{6},
logo
f(3) = \frac{6}{5}\\ \Omega.

Passo 3

Em geral
\frac{1}{f(R)} = \frac{1}{2} + \frac{1}{R} = \frac{R+2}{2R},
portanto
f(R) = \frac{2R}{R+2}.

Passo 4

Para ver que f é injetiva, note que em (0,\infty)
f'(R) = \frac{d}{dR}\biggl(\frac{2R}{R+2}\biggr) = \frac{2(R+2) - 2R}{(R+2)^2} = \frac{4}{(R+2)^2} >0.
Como f'(R)>0, f é estritamente crescente em (0,\infty) e, portanto, injetiva.

Passo 5

Para obter a inversa, escreva y=f(R):
y = \frac{2R}{R+2} \;\Longrightarrow\; y(R+2)=2R \;\Longrightarrow\; yR + 2y = 2R \;\Longrightarrow\; 2y = R(2-y) \;\Longrightarrow\; R = \frac{2y}{2 - y}.
Logo a inversa é
f^{-1}(y) = \frac{2y}{2 - y},
com domínio de definição y\in(0,2), que é a imagem de f.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{6}{5}\\ \Omega
(b) \displaystyle f(R)=\frac{2R}{R+2}
(c) f é estritamente crescente em (0,\infty), logo injetiva, e
f^{-1}(y)=\frac{2y}{2-y},\quad y\in(0,2).

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