- (UnB 2/2018-adaptado) Considere um circuito elétrico com um resistor de 2 ohms ligado em paralelo a outro de resistência variável
. Nesse caso, a resistência total
do circuito satisfaz:
(a) Calcule o valor da resistência total, para
.
(b) Obtenha a expressão de
em função de
.
(c) Mostre que
é injetiva e determine sua a função inversa.
(b) Obtenha a expressão de
(c) Mostre que
Passo 1
O enunciado traz um circuito com um resistor de
em paralelo com outro de resistência variável
, cuja resistência total
satisfaz
Pede-se
(a) calcular ,
(b) obter a expressão de em função de
,
(c) mostrar que é injetiva e determinar
.
Para isso vamos usar manipulação de frações, derivada para monotonicidade e resolução de equação para inversão.
(a) calcular
(b) obter a expressão de
(c) mostrar que
Para isso vamos usar manipulação de frações, derivada para monotonicidade e resolução de equação para inversão.
Passo 2
Para
temos
logo
Passo 3
Em geral
portanto
Passo 4
Para ver que
é injetiva, note que em
Como
,
é estritamente crescente em
e, portanto, injetiva.
Passo 5
Para obter a inversa, escreva
:
Logo a inversa é
com domínio de definição
, que é a imagem de
.
Resposta
(a)
(b)
(c) é estritamente crescente em
, logo injetiva, e
(b)
(c)