Esboce os gráficos das funções abaixo
y=\frac{L}{2 \pi} \cos \left(\frac{2 \pi t}{L}\right), L>0

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
y = \frac{L}{2\pi}\,\cos\!\biggl(\frac{2\pi t}{L}\biggr), \quad L>0.
O conteúdo envolvido é o de funções trigonométricas, em particular cosseno com amplitude e período genéricos. Para esboçar, precisamos identificar amplitude, período e posições de máximos, zeros e mínimos.

Passo 2

Vamos encontrar a amplitude A e o período T.
  • A amplitude é o fator multiplicativo diante do cosseno:
A = \frac{L}{2\pi}.
  • O período de \cos(\omega t) é \frac{2\pi}{\omega}. Aqui \omega = \frac{2\pi}{L}, logo
T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{2\pi/L} = L.

Passo 3

Determinamos os pontos-nota principais num período [0,L]:
  • Em t=0:
y(0) = \frac{L}{2\pi}\cos(0) = \frac{L}{2\pi}
é máximo.
  • Em t = \tfrac{L}{4}:
y\bigl(\tfrac{L}{4}\bigr) = \frac{L}{2\pi}\cos\bigl(\tfrac{2\pi}{L}\cdot\tfrac{L}{4}\bigr) = \frac{L}{2\pi}\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = 0.
  • Em t = \tfrac{L}{2}:
y\bigl(\tfrac{L}{2}\bigr) = \frac{L}{2\pi}\cos(\pi) = -\frac{L}{2\pi}
é mínimo.
  • Em t = \tfrac{3L}{4}:
y\bigl(\tfrac{3L}{4}\bigr) = \frac{L}{2\pi}\cos\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr) = 0.
  • Em t = L:
y(L) = \frac{L}{2\pi}\cos(2\pi) = \frac{L}{2\pi},
retorna ao máximo inicial, fechando um período.

Passo 4

Para esboçar, marcamos no eixo t os pontos 0,\tfrac{L}{4},\tfrac{L}{2},\tfrac{3L}{4},L e no eixo y os valores \frac{L}{2\pi},0,-\frac{L}{2\pi}. Desenhamos então a curva do cosseno, que parte de \bigl(0,\tfrac{L}{2\pi}\bigr), decresce suavemente até \bigl(\tfrac{L}{2},-\tfrac{L}{2\pi}\bigr) e volta ao ponto \bigl(L,\tfrac{L}{2\pi}\bigr).

Resposta

O gráfico é uma cossenoide com:
  • amplitude \displaystyle \frac{L}{2\pi},
  • período L,
  • máximo em t=0 e t=L com y=\frac{L}{2\pi},
  • zeros em t=\tfrac{L}{4} e t=\tfrac{3L}{4},
  • mínimo em t=\tfrac{L}{2} com y=-\frac{L}{2\pi}.
Em cada período, o esboço segue o formato clássico de \cos, apenas estirado horizontalmente até comprimento L e verticalmente até altura \tfrac{L}{2\pi}.

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