6^{\underline{\mathrm{a}}} QUESTÃO

Ao estudar a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral, se não a primeira, mas uma das primeiras aplicações da teoria de Limites é a chamada Derivada. Derivada que, seja no conceito de inclinação da reta tangente em um ponto, seja no conceito de taxa de variação instantânea, possui várias e importantes aplicações. Ao se calcular a derivada de uma função, tem-se comprovado pela teoria e definições de limites, regras que ajudam no processo de derivar. Uma dessas regras, é com relação à derivada do produto entre duas funções. Por exemplo, digamos que as funções f e g sejam deriváveis. Pode-se calcular a derivada do produto \mathrm{f}(\mathrm{x}) . \mathrm{g}(\mathrm{x}), usando a seguinte regra:

Regra do produto:

(f(x) \cdot g(x))^{\prime}=f(x) \cdot g^{\prime}(x)+g(x) \cdot f^{\prime}(x)
Fonte: Disponível em: https://repositorio.furg.br/bitstream/handle/1/10247/1https_mail.furg.pdf? sequence=1&isAllowed=y. Acesso em: Agosto. 2024. (adaptado).
Usando a regra para a derivada da multiplicação entre duas funções mencionadas acima, aquela que corresponde a derivada de \mathrm{f}(\mathrm{x})=(5 \mathrm{x}+10) \cdot\left(\mathrm{x}^{4}-10 \mathrm{x}^{2}\right), assinale a alternativa correta:

Passo 1

O enunciado dá a função \;f(x)=(5x+10)\cdot(x^{4}-10x^{2})\; e pede para calcular a derivada dessa função.
Informações relevantes fornecidas:
\;f(x) é o produto de duas funções: a primeira é \;u(x)=5x+10\; e a segunda é \;v(x)=x^{4}-10x^{2}\;.
A única pergunta: calcular \;f^{\prime}(x)\;, a derivada de \;f(x).

Passo 2

Vamos lembrar a regra que vamos usar (regra do produto). Se \;u(x) e \;v(x) são funções diferenciáveis, então a derivada do produto é
(u(x)\cdot v(x))' = u(x)\cdot v'(x) + v(x)\cdot u'(x).
Aqui \;u'(x) e \;v'(x) representam as derivadas de \;u e \;v, respectivamente. Em palavras: derivar o produto = primeira vezes derivada da segunda + segunda vezes derivada da primeira.

Passo 3

Antes de aplicar a regra, calculamos as derivadas das duas funções separadamente. Para isso usamos duas regras básicas:
Regra da constante multiplicativa: se \;a é constante e \;h(x) é derivável, então (a\cdot h(x))' = a\cdot h'(x).
Regra do expoente (regra do poder): para inteiro \;n, (x^{n})' = n\cdot x^{n-1}.
Explicando as variáveis: em (x^{n})', a variável é \;x e \;n é o expoente; o resultado é \;n multiplicando \;x elevado a \;n-1.

Passo 4

Aplicando essas regras às funções dadas:
A função \;u(x)=5x+10\; é linear. Pela regra da derivada de ax+b, sua derivada é o coeficiente angular:
u'(x)=5.
A função \;v(x)=x^{4}-10x^{2}\;. Aplicando a regra do poder e a regra da constante multiplicativa:
(x^{4})' = 4x^{3},\qquad (10x^{2})' = 10\cdot 2x = 20x.
Portanto
v'(x)=4x^{3}-20x.

Passo 5

Agora aplicamos a regra do produto com \;u(x)=5x+10, \;u'(x)=5, \;v(x)=x^{4}-10x^{2} e \;v'(x)=4x^{3}-20x:
f'(x) = (5x+10)\cdot(4x^{3}-20x) + (x^{4}-10x^{2})\cdot 5.

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão passo a passo. Primeiro, observe que \;4x^{3}-20x = 4x(x^{2}-5) e \;5x+10=5(x+2). Assim o primeiro termo fica mais manejável:
(5x+10)\cdot(4x^{3}-20x) = 5(x+2)\cdot 4x(x^{2}-5) = 20x\cdot (x+2)\cdot (x^{2}-5).

Passo 7

Expandimos (x+2)(x^{2}-5):
(x+2)(x^{2}-5) = x^{3} + 2x^{2} -5x -10.
Multiplicando por \;20x:
20x\cdot (x^{3} + 2x^{2} -5x -10) = 20x^{4} + 40x^{3} -100x^{2} -200x.

Passo 8

O segundo termo da derivada era (x^{4}-10x^{2})\cdot 5. Expandindo:
5(x^{4}-10x^{2}) = 5x^{4} -50x^{2}.
Somando com o resultado do passo anterior:
f'(x) = (20x^{4} + 40x^{3} -100x^{2} -200x) + (5x^{4} -50x^{2}).

Passo 9

Agora combinamos termos semelhantes (somamos coeficientes de potências iguais de \;x):
20x^{4}+5x^{4} = 25x^{4},
40x^{3} \text{ (não há outro } x^{3}\text{)},ãá
-100x^{2}-50x^{2} = -150x^{2},
-200x \text{ (não há outro } x\text{)}.ãá
Logo
f'(x) = 25x^{4} + 40x^{3} -150x^{2} -200x.

Passo 10

Podemos, se quisermos, fatorar um fator comum \;5x para deixar a expressão com fator comum evidenciado:
f'(x) = 5x\bigl(5x^{3} + 8x^{2} -30x -40\bigr).
Pronto — derivada encontrada! Força aí, você consegue resolver outros usando exatamente os mesmos passos: identificar partes, derivar cada uma e aplicar a regra do produto.

Resposta

\;f'(x)=25x^{4}+40x^{3}-150x^{2}-200x

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