QUESTÃO
Ao estudar a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral, se não a primeira, mas uma das primeiras aplicações da teoria de Limites é a chamada Derivada. Derivada que, seja no conceito de inclinação da reta tangente em um ponto, seja no conceito de taxa de variação instantânea, possui várias e importantes aplicações. Ao se calcular a derivada de uma função, tem-se comprovado pela teoria e definições de limites, regras que ajudam no processo de derivar. Uma dessas regras, é com relação à derivada do produto entre duas funções. Por exemplo, digamos que as funções f e g sejam deriváveis. Pode-se calcular a derivada do produto
, usando a seguinte regra:
Regra do produto:
Fonte: Disponível em: https://repositorio.furg.br/bitstream/handle/1/10247/1https_mail.furg.pdf? sequence=1&isAllowed=y. Acesso em: Agosto. 2024. (adaptado).
Usando a regra para a derivada da multiplicação entre duas funções mencionadas acima, aquela que corresponde a derivada de
, assinale a alternativa correta:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada dessa função.
Informações relevantes fornecidas:
é o produto de duas funções: a primeira é
e a segunda é
.
A única pergunta: calcular , a derivada de
.
Informações relevantes fornecidas:
A única pergunta: calcular
Passo 2
Vamos lembrar a regra que vamos usar (regra do produto). Se
e
são funções diferenciáveis, então a derivada do produto é
Aqui
e
representam as derivadas de
e
, respectivamente. Em palavras: derivar o produto = primeira vezes derivada da segunda + segunda vezes derivada da primeira.
Passo 3
Antes de aplicar a regra, calculamos as derivadas das duas funções separadamente. Para isso usamos duas regras básicas:
Regra da constante multiplicativa: se é constante e
é derivável, então
.
Regra do expoente (regra do poder): para inteiro ,
.
Explicando as variáveis: em , a variável é
e
é o expoente; o resultado é
multiplicando
elevado a
.
Regra da constante multiplicativa: se
Regra do expoente (regra do poder): para inteiro
Explicando as variáveis: em
Passo 4
Aplicando essas regras às funções dadas:
A função é linear. Pela regra da derivada de
, sua derivada é o coeficiente angular:
A função
A função
. Aplicando a regra do poder e a regra da constante multiplicativa:
Portanto
Passo 5
Agora aplicamos a regra do produto com
,
,
e
:
Passo 6
Vamos simplificar essa expressão passo a passo. Primeiro, observe que
e
. Assim o primeiro termo fica mais manejável:
Passo 7
Expandimos
:
Multiplicando por
:
Passo 8
O segundo termo da derivada era
. Expandindo:
Somando com o resultado do passo anterior:
Passo 9
Agora combinamos termos semelhantes (somamos coeficientes de potências iguais de
):
Logo
Passo 10
Podemos, se quisermos, fatorar um fator comum
para deixar a expressão com fator comum evidenciado:
Pronto — derivada encontrada! Força aí, você consegue resolver outros usando exatamente os mesmos passos: identificar partes, derivar cada uma e aplicar a regra do produto.