QUESTÃO
O setor de autopeças representa uma cadeia produtiva fundamental para o complexo automotivo, sendo responsável por parte significativa do desenvolvimento tecnológ partir de encomendas das montadoras quanto a partir de inovações e aprimoramentos autônomos. Além disso, segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IE indústria de autopeças emprega 331 mil trabalhadores no Brasil, sem contar o contingente de mão de obra alocado no setor de serviços (atacadistas, varejistas, assistêncii etc.), em 3.077 empresas, das quais 1.824 com cinco ou mais empregados. A indústria de autopeças obteve um faturamento de
76,8$ bilhões em 2014.
Fonte: Disponível em:
https://web.bndes.gov.br/bib/jspui/bitstream/1408/9555/1/BNDES%20Setotrial%2042%20Panorama%20da%20ind%C3%BAstria%20de%20autope%C3%A7as%20no%20Br Acesso em: Agosto. 2024. (adaptado).
Com relação a produção e vendas de peças automotivas, uma empresa, ao vender um determinado tipo de peça, tem a variação instantânea, ou seja, a derivada da funçãe dada por
, e a derivada da função custo, dada por
, onde
, representa a quantidade de peças fabricadas e vendidas.
Sabendo que a função lucro pode ser obtida pela diferença entre a função receita e a função custo, no que representa qual será o lucro da empresa, quando for vendido a quantidade de peças entre 6 e 10 peças, assinale a alternativa correta:
https://web.bndes.gov.br/bib/jspui/bitstream/1408/9555/1/BNDES%20Setotrial%2042%20Panorama%20da%20ind%C3%BAstria%20de%20autope%C3%A7as%20no%20Br Acesso em: Agosto. 2024. (adaptado).
Passo 1
O enunciado fornece as derivadas da receita e do custo em função da quantidade
de peças:
E pergunta qual será o lucro da empresa “quando for vendido a quantidade de peças entre 6 e 10 peças”. As informações relevantes são:
- A função lucro é a diferença entre receita e custo.
- Temos apenas as derivadas
e , não as funções e completas (constantes de integração desconhecidas). - O intervalo de interesse é
.
Passo 2
Interpretando a frase “lucro … entre 6 e 10 peças”: o que se costuma pedir é a variação do lucro ao aumentar a produção de
para
, isto é, o incremento do lucro
onde
é a função lucro. Vou calcular esse incremento usando cálculo integral — isso é natural porque conhecemos as derivadas. Explico a ferramenta que usamos: pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a variação de uma função entre dois pontos é a integral definida de sua derivada nesse intervalo:
Além disso, a derivada do lucro é a diferença das derivadas:
Essa identidade vem da propriedade linear da derivada: a derivada de
é
.
Passo 3
Substituo as derivadas dadas para obter
. Usando
e
, temos
Explico:
significa três vezes o quadrado de
;
é uma constante. Então a derivada do lucro é uma função polinomial de segundo grau subtraída de uma constante.
Passo 4
Agora monto a integral que dá a variação do lucro de
a
:
Vou integrar termo a termo. Relembrando regras básicas de integração:
- A integral de
é para . - A integral de uma constante
é . - Constantes multiplicativas saem da integral.
Aplicando isso:
Portanto uma primitiva (antiderivada) de
é
(A constante de integração não interessa para integral definida.)
Passo 5
Avalio a integral definida usando
:
Faço as contas passo a passo:
Agora subtraio:
Interpretação: o lucro aumenta em
(unidade monetária usada pela função; aqui presumimos reais). Note que não precisei conhecer constantes de integração de
e
porque elas se cancelam na diferença.
Passo 6
Resumo prático para a prova (dica amiga): quando te dão
e
e pedem quanto o lucro varia entre duas quantidades, calcula
e integra de um limite ao outro. Isso evita ter que encontrar as funções completas. Força — tá indo bem!