5{ }^{\underline{\mathrm{a}}} QUESTÃO
O setor de autopeças representa uma cadeia produtiva fundamental para o complexo automotivo, sendo responsável por parte significativa do desenvolvimento tecnológ partir de encomendas das montadoras quanto a partir de inovações e aprimoramentos autônomos. Além disso, segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IE indústria de autopeças emprega 331 mil trabalhadores no Brasil, sem contar o contingente de mão de obra alocado no setor de serviços (atacadistas, varejistas, assistêncii etc.), em 3.077 empresas, das quais 1.824 com cinco ou mais empregados. A indústria de autopeças obteve um faturamento de \mathrm{R} \ 76,8$ bilhões em 2014.
Fonte: Disponível em:
https://web.bndes.gov.br/bib/jspui/bitstream/1408/9555/1/BNDES%20Setotrial%2042%20Panorama%20da%20ind%C3%BAstria%20de%20autope%C3%A7as%20no%20Br Acesso em: Agosto. 2024. (adaptado).
Com relação a produção e vendas de peças automotivas, uma empresa, ao vender um determinado tipo de peça, tem a variação instantânea, ou seja, a derivada da funçãe dada por R^{\prime}(q)=3 . q^{2}, e a derivada da função custo, dada por C^{\prime}(q)=27, onde q, representa a quantidade de peças fabricadas e vendidas.
Sabendo que a função lucro pode ser obtida pela diferença entre a função receita e a função custo, no que representa qual será o lucro da empresa, quando for vendido a quantidade de peças entre 6 e 10 peças, assinale a alternativa correta:

Passo 1

O enunciado fornece as derivadas da receita e do custo em função da quantidade q de peças:
R'(q)=3\cdot q^{2}
C'(q)=27
E pergunta qual será o lucro da empresa “quando for vendido a quantidade de peças entre 6 e 10 peças”. As informações relevantes são:
  1. A função lucro é a diferença entre receita e custo.
  2. Temos apenas as derivadas R'(q) e C'(q), não as funções R(q) e C(q) completas (constantes de integração desconhecidas).
  3. O intervalo de interesse é q\in[6,10].

Passo 2

Interpretando a frase “lucro … entre 6 e 10 peças”: o que se costuma pedir é a variação do lucro ao aumentar a produção de q=6 para q=10, isto é, o incremento do lucro
\Delta \pi=\pi(10)-\pi(6),
onde \pi(q) é a função lucro. Vou calcular esse incremento usando cálculo integral — isso é natural porque conhecemos as derivadas. Explico a ferramenta que usamos: pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a variação de uma função entre dois pontos é a integral definida de sua derivada nesse intervalo:
\pi(10)-\pi(6)=\int_{6}^{10}\pi'(q)\,dq.
Além disso, a derivada do lucro é a diferença das derivadas:
\pi'(q)=R'(q)-C'(q).
Essa identidade vem da propriedade linear da derivada: a derivada de R(q)-C(q) é R'(q)-C'(q).

Passo 3

Substituo as derivadas dadas para obter \pi'(q). Usando R'(q)=3q^{2} e C'(q)=27, temos
\pi'(q)=3q^{2}-27.
Explico: 3q^{2} significa três vezes o quadrado de q; 27 é uma constante. Então a derivada do lucro é uma função polinomial de segundo grau subtraída de uma constante.

Passo 4

Agora monto a integral que dá a variação do lucro de q=6 a q=10:
\Delta \pi=\int_{6}^{10}\bigl(3q^{2}-27\bigr)\,dq.
Vou integrar termo a termo. Relembrando regras básicas de integração:
  • A integral de q^{n} é \dfrac{q^{n+1}}{n+1} para n\neq -1.
  • A integral de uma constante a é a q.
  • Constantes multiplicativas saem da integral.
Aplicando isso:
\int 3q^{2}\,dq = 3\cdot\frac{q^{3}}{3}=q^{3},
\int 27\,dq = 27q.
Portanto uma primitiva (antiderivada) de 3q^{2}-27 é
F(q)=q^{3}-27q.
(A constante de integração não interessa para integral definida.)

Passo 5

Avalio a integral definida usando F(q):
\Delta \pi = \Bigl[q^{3}-27q\Bigr]_{6}^{10} = \bigl(10^{3}-27\cdot 10\bigr)-\bigl(6^{3}-27\cdot 6\bigr).
Faço as contas passo a passo:
10^{3}=1000,\quad 27\cdot 10=270,\quad 1000-270=730,
6^{3}=216,\quad 27\cdot 6=162,\quad 216-162=54.
Agora subtraio:
\Delta \pi = 730-54=676.
Interpretação: o lucro aumenta em \,676 (unidade monetária usada pela função; aqui presumimos reais). Note que não precisei conhecer constantes de integração de R e C porque elas se cancelam na diferença.

Passo 6

Resumo prático para a prova (dica amiga): quando te dão R'(q) e C'(q) e pedem quanto o lucro varia entre duas quantidades, calcula \pi'(q)=R'(q)-C'(q) e integra de um limite ao outro. Isso evita ter que encontrar as funções completas. Força — tá indo bem!

Resposta

\text{R\$ }676

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