9^{\underline{a}} Questão
Considere as equações químicas abaixo e faça o que se pede.
\begin{gathered} \mathrm{NaHCO}_{3}(\mathrm{aq})+\mathrm{HCl}(\mathrm{aq}) \rightarrow \mathrm{NaCl}(\mathrm{aq})+\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}(\mathrm{l})+\mathrm{CO}_{2}(\mathrm{~g}) \\\ \mathrm{Na}_{2} \mathrm{CO}_{3}(\mathrm{aq})+2 \mathrm{HCl}(\mathrm{aq}) \rightarrow 2 \mathrm{NaCl}(\mathrm{aq})+\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}(\mathrm{l})+\mathrm{CO}_{2}(\mathrm{~g}) \end{gathered}
a) Uma mistura de bicarbonato de sódio, \mathrm{NaHCO}_{3}, e carbonato de sódio, \mathrm{Na}_{2} \mathrm{CO}_{3}, contendo uma massa de 1,50 \mathrm{~g} reagiu com, exatamente, 14,0 \mathrm{~mL} de \mathrm{HCl} 1,50 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1}. Calcule a massa, em gramas, de cada um dos componentes da mistura.
b) Calcule a pressão de \mathrm{CO}_{2}, em atm, produzida no item “a” considerando que o gás de ambas as reações foi recolhido em um recipiente de 450 mL a 27^{\circ} \mathrm{C}.
c) Explique como a Lei dos Gases Ideais, \mathrm{PV}=\mathrm{nRT}, foi obtida.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que se pede.
  • Dados extraídos do enunciado:
    • Massa total da mistura: 1,50\\ \mathrm{g} (mistura de \mathrm{NaHCO}_3 e \mathrm{Na_2CO_3}).
    • Volume de \mathrm{HCl} usado: 14,0\\ \mathrm{mL}=0,0140\\ \mathrm{L}.
    • Concentração do \mathrm{HCl}: 1,50\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.
    • Volume do recipiente para o \mathrm{CO_2}: 450\\ \mathrm{mL}=0,450\\ \mathrm{L}.
    • Temperatura: 27^\circ\mathrm{C}=300{,}15\\ \mathrm{K} (lembrando T(\mathrm{K})=T(^{\circ}\mathrm{C})+273{,}15).
    • Reações (este é o que importa para este problema; stoquiometria): \mathrm{NaHCO}_3 + \mathrm{HCl} \rightarrow \mathrm{NaCl} + \mathrm{H_2O} + \mathrm{CO_2}
\mathrm{Na_2CO_3} + 2\mathrm{HCl} \rightarrow 2\mathrm{NaCl} + \mathrm{H_2O} + \mathrm{CO_2}
  • Massas molares (usadas nas contas; valores padrão):
    M(\mathrm{NaHCO_3})=84{,}01\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}},\qquad M(\mathrm{Na_2CO_3})=106{,}00\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}.
  • O que o enunciado pede:
    (a) Calcular a massa de cada componente da mistura (em gramas).
    (b) Calcular a pressão do \mathrm{CO_2} produzido (em atm) recolhido em 0,450\\ \mathrm{L} a 27^\circ\mathrm{C}.
    (c) Explicar como a Lei dos Gases Ideais \;PV=nRT\; foi obtida.

Passo 2

Montar as equações e explicar a estratégia (stoquiometria e massa molar).
  • Defino incógnitas:
    x=\text{moles de }\mathrm{NaHCO_3},\qquad y=\text{moles de }\mathrm{Na_2CO_3}.
  • Explicação da stoquiometria (em palavras, para a prova):
    • Cada mol de \mathrm{NaHCO_3} consome 1 mol de \mathrm{HCl} e produz 1 mol de \mathrm{CO_2}.
    • Cada mol de \mathrm{Na_2CO_3} consome 2 mols de \mathrm{HCl} e produz 1 mol de \mathrm{CO_2}.
    • Assim, o total de mols de \mathrm{HCl} consumidos é x+2y.
    • O total de mols de \mathrm{CO_2} produzidos é x+y.
  • Calcular quantos mols de \mathrm{HCl} foram adicionados:
    n_{\mathrm{HCl}} = C\cdot V = 1{,}50\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}\times 0,0140\\ \mathrm{L}=0{,}0210\\ \mathrm{mol}.
    (Aqui usei: n= concentração \times volume; isso é básico de soluções.)
  • Equações a usar:
    1. balanço de consumo de \mathrm{HCl}:
    x+2y = 0{,}0210.
    1. balanço de massa total da mistura (massa = soma das massas dos componentes):
    x\cdot M(\mathrm{NaHCO_3}) + y\cdot M(\mathrm{Na_2CO_3}) = 1{,}50.
    Em substituição dos valores de M:
    84{,}01\,x + 106{,}00\,y = 1{,}50.

Passo 3

Resolver o sistema para encontrar x e y (passo a passo, sem pular etapas).
  • Da equação x+2y=0{,}0210 isolamos x:
    x = 0{,}0210 - 2y.
  • Substituindo em 84{,}01\,x + 106{,}00\,y = 1{,}50:
    84{,}01(0{,}0210 - 2y) + 106{,}00\,y = 1{,}50.
  • Desenvolvendo:
    84{,}01\cdot 0{,}0210 - 84{,}01\cdot 2y + 106{,}00y = 1{,}50.
    Calcule cada termo:
    84{,}01\cdot 0{,}0210 = 1{,}76421.
-84{,}01\cdot 2y = -168{,}02\,y.
Somando com +106{,}00y obtém-se:
1{,}76421 + (-168{,}02y + 106{,}00y) = 1{,}50,
1{,}76421 - 62{,}02\,y = 1{,}50.
  • Isolando y: -62{,}02\,y = 1{,}50 - 1{,}76421 = -0{,}26421,
y = \frac{0{,}26421}{62{,}02}=0{,}004262\\ \mathrm{mol}\quad(\text{aprox.}).
  • Encontrando x: x = 0{,}0210 - 2\cdot 0{,}004262 = 0{,}0210 - 0{,}008524 = 0{,}012476\\ \mathrm{mol}.

Passo 4

Calcular as massas de cada sal (conversão mol \to g) e verificar soma.
  • Massa de \mathrm{NaHCO_3}:
    m_{\mathrm{NaHCO_3}} = x\cdot M(\mathrm{NaHCO_3}) = 0{,}012476\cdot 84{,}01 = 1{,}04811\\ \mathrm{g}.
  • Massa de \mathrm{Na_2CO_3}:
    m_{\mathrm{Na_2CO_3}} = y\cdot M(\mathrm{Na_2CO_3}) = 0{,}004262\cdot 106{,}00 = 0{,}45137\\ \mathrm{g}.
  • Soma para checar:
    1{,}04811 + 0{,}45137 = 1{,}49948\\ \mathrm{g}\approx 1{,}50\\ \mathrm{g},
    o que bate dentro de arredondamento com a massa total dada. Perfeito.

Passo 5

Calcular a pressão do \mathrm{CO_2} (uso da Lei dos Gases Ideais) — explicar a lei e cada passo.
  • Primeiro, quantos mols de \mathrm{CO_2} foram produzidos?
    n_{\mathrm{CO_2}} = x+y = 0{,}012476 + 0{,}004262 = 0{,}016738\\ \mathrm{mol}.
  • Mini-aula rápida sobre a Lei dos Gases Ideais (essencial para a prova):
    • A lei dos gases ideais é PV=nRT,onde:
      • P é a pressão do gás (em atm se usar R=0{,}082057\\ \mathrm{L\\ atm\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}),
      • V é o volume ocupado pelo gás (em \mathrm{L}),
      • n é o número de mols do gás,
      • R é a constante universal dos gases ( R=0{,}082057\\ \mathrm{L\\ atm\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}),
      • T é a temperatura em kelvin ( \mathrm{K}).
    • Na prática para calcular P, isolamos P: P=\frac{nRT}{V}.
    • Atenção às unidades: aqui vou usar n em mol, R em \mathrm{L\\ atm\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}, T em K e V em L; assim P sai em atm.
  • Aplicando:
    P_{\mathrm{CO_2}}=\frac{0{,}016738\cdot 0{,}082057\cdot 300{,}15}{0{,}450}.
    Calcule passo a passo:
    0{,}016738\cdot 0{,}082057 \approx 0{,}00137349,
0{,}00137349\cdot 300{,}15 \approx 0{,}412254,
P_{\mathrm{CO_2}} \approx \frac{0{,}412254}{0{,}450} = 0{,}91612\\ \mathrm{atm}.
Arredondando razoavelmente para três algarismos significativos:
P_{\mathrm{CO_2}}\approx 0{,}916\\ \mathrm{atm}.

Passo 6

Explicação formal (um pouco mais detalhada e intuitiva) de como a Lei dos Gases Ideais foi obtida.
  • Histórico e ideia física resumida para decorar e explicar na prova:
    • Existem três leis empíricas fundamentais obtidas por experimentos:
      1. Lei de Boyle: a T e n constantes, a pressão é inversamente proporcional ao volume: P\propto \frac{1}{V}.
      2. Lei de Charles: a P e n constantes, o volume é proporcional à temperatura absoluta: V\propto T.
      3. Lei de Avogadro: a P e T constantes, o volume é proporcional ao número de mols: V\propto n.
    • Combinando as proporcionalidades (em linguagem matemática): V\propto \frac{nT}{P}\quad\Longrightarrow\quad PV\propto nT.A constante de proporcionalidade é chamada de constante universal dos gases R, dando PV=nRT.
    • Interpretação microscópica (bônus, útil para argumentar na prova): da teoria cinética dos gases obtém-se \,PV=Nk_BT, onde N é o número de moléculas e k_B a constante de Boltzmann; como n=N/N_A e R=k_BN_A, obtemos PV=nRT. Isso vem da consideração de partículas puntiformes sem interações (idealização) e colisões elásticas com as paredes.
    • Limitações: a lei é válida para gases em condições moderadas (baixa pressão, alta temperatura relativa) onde as interações intermoleculares e volumes das partículas são negligenciáveis.

Resposta

(a) m_{\mathrm{NaHCO_3}}=1{,}048\\ \mathrm{g}, \;m_{\mathrm{Na_2CO_3}}=0{,}451\\ \mathrm{g}
(b) P_{\mathrm{CO_2}}=0{,}916\\ \mathrm{atm}
(c) A relação \;PV=nRT\; é obtida combinando experimentalmente a lei de Boyle ( P\propto1/V), a lei de Charles ( V\propto T) e a lei de Avogadro ( V\propto n), resultando em PV\propto nT e definindo a constante de proporcionalidade como R.

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