4{ }^{\underline{a}} Questão: Para a seção transversal retangular, \mathrm{b}=0,30 \mathrm{~m} e \mathrm{h}=1 \mathrm{~m}, da viga de concreto armado, pede-se determinar as tensões máximas na seção. Considerar quatro barras de diâmetro igual a 1,25 cm e a tensão de escoamento do aço fyd =434,78 \mathrm{Mpa}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado me deu e o que ele pede (sem assumir nada que não esteja escrito). Dados fornecidos:
  • Seção retangular com b=0,30\\ \text{m} e h=1{,}0\\ \text{m}.
  • Quatro barras de aço com diâmetro d=1{,}25\\ \text{cm}=0{,}0125\\ \text{m}.
  • Tensão de escoamento do aço f_{yd}=434{,}78\\ \text{MPa}.
O enunciado pede: determinar “as tensões máximas na seção”.
Observação importante: com os dados acima isolados não é possível obter valores numéricos únicos para as tensões máximas. Para calcular tensões (no concreto e no aço) é imprescindível conhecer, por exemplo, as ações internas que causam tensões (momento fletor M, esforço normal N, ou o estado de deformação), e a posição geométrica exata das barras na seção (cobertura/posição em relação à fibra neutra), além das propriedades elásticas (módulos de elasticidade E_c e E_s) ou o critério de estado-limite adotado (estado elástico de serviço versus estado último com bloco retangular de tensões).
A partir daqui eu não vou pedir informações adicionais (conforme instrução), mas vou explicar passo a passo e didaticamente como se calcula as tensões máximas assim que os dados necessários estiverem disponíveis — e já calculo os valores geométricos que dá para obter com os dados que você enviou.

Passo 2

Cálculo das quantidades geométricas que já são determinadas pelos dados fornecidos (essas serão úteis no método):
  • Área da seção de concreto:
A_c = b\cdot h = 0{,}30\cdot 1{,}0 = 0{,}30\\ \text{m}^2.
  • Área de uma barra (círculo de diâmetro d):
A_{\text{bar}}=\frac{\pi d^2}{4}=\frac{\pi (0{,}0125)^2}{4}=0{,}00012272\\ \text{m}^2\approx 122{,}72\\ \text{mm}^2.
  • Área total de aço:
A_s = 4\cdot A_{\text{bar}}=4\cdot 0{,}00012272=0{,}00049087\\ \text{m}^2\approx 490{,}87\\ \text{mm}^2.
  • Taxa de armadura (relação entre áreas):
\rho=\frac{A_s}{A_c}=\frac{0{,}00049087}{0{,}30}=0{,}001636\approx 0{,}1636\%.
Comentário simpático: essa taxa é pequena — típico de vigas armadas (mas não se tira conclusão sem comparar com exigências normativas).

Passo 3

Momento de inércia da seção de concreto (retângulo) em torno do seu eixo neutro geométrico (centro):
I_c=\frac{b h^3}{12}=\frac{0{,}30\cdot (1{,}0)^3}{12}=0{,}025\\ \text{m}^4.
A posição do centroide da seção reta (eixo neutro de uma seção só de concreto) é
y_{c}=\frac{h}{2}=0{,}50\\ \text{m}
medida a partir da base até o centro.

Passo 4

Explicação didática da ideia física: como se obtêm tensões na seção
  • Em flexão simples (sem esforço normal), a hipótese clássica é a hipótese das seções planas: as deformações variam linearmente com a distância à fibra neutra; isto gera uma distribuição linear de tensão se o material for elástico (Lei de Hooke).
  • Para um corpo homogêneo elástico (somente concreto), a tensão por flexão em uma fibra a distância y do eixo neutro vale a fórmula clássica:
\sigma(y)=\frac{M\;y}{I},
onde M é o momento fletor, I o momento de inércia da seção (do conjunto material considerado) e y a distância entre a fibra considerada e o eixo neutro. Explicando cada termo: M (em \text{N}\cdot\text{m}) é a resultante fletora externa; I (em \text{m}^4) mede a resistência geométrica à flexão; y (em m) é a alavanca até a fibra onde se quer a tensão. A unidade da tensão vem correta: \text{N}\cdot\text{m}\cdot\text{m}/\text{m}^4=\text{N}/\text{m}^2.
  • Num elemento composto concreto+aço, aço e concreto têm módulos de elasticidade diferentes; portanto usa-se um procedimento de seções transformadas ou se resolve por compatibilidade de deformações e equilíbrio de forças.

Passo 5

Método prático (seção transformada) — explicação passo a passo da técnica elástica (serviço):
  1. Definir os módulos de elasticidade: E_s para aço e E_c para concreto. Normalmente E_s\approx 210\\ \text{GPa} e E_c varia (p.ex. 25 35\\ \text{GPa} dependendo do concreto). Definir a razão modular:
n=\frac{E_s}{E_c}.
  1. “Transformar” a seção de aço em área equivalente de concreto multiplicando A_s por n. Assim obtém-se uma seção homogênea equivalente de concreto cuja inércia I_{\text{tr}} pode ser calculada somando I_c da placa de concreto mais as áreas transformadas nA_{s,i} com suas respectivas distâncias ao eixo neutro (teorema de eixo paralelo — Steiner).
  2. Se as barras não estiverem simetricamente distribuídas em relação ao centro, há que localizar a nova posição do eixo neutro da seção transformada resolvendo a equação de equilíbrio (soma dos momentos das áreas em relação a um eixo = 0). Em equação:
\sum (A_i' \cdot y_i)=0\quad\text{(momento estático para achar o eixo neutro)},á
onde A_i' são as áreas transformadas ( A_c do concreto e nA_s das barras transformadas) e y_i as abscissas dos seus centroides.
4) Uma vez com I_{\text{tr}} conhecido, a curvatura devido a um momento aplicado M é
\varphi=\frac{M}{E_c I_{\text{tr}}}.
  1. A partir da curvatura, a deformação em uma fibra a distância y à fibra neutra é \varepsilon(y)=\varphi\cdot y. Assim as tensões são:
  • No concreto (assumindo comportamento elástico):
\sigma_c(y)=E_c\,\varepsilon(y)=E_c\,\varphi\,y=\frac{M\,y}{I_{\text{tr}}}.
  • No aço (na posição y_s):
\sigma_s=E_s\,\varepsilon(y_s)=E_s\,\varphi\,y_s=\frac{E_s}{E_c}\cdot\frac{M\,y_s}{I_{\text{tr}}}=n\cdot\frac{M\,y_s}{I_{\text{tr}}}.
Essas fórmulas mostram: para obter tensões numéricas é necessário conhecer M (e, se houver, N o esforço normal axial), a posição vertical de cada barra y_s em relação ao eixo neutro, e os módulos E_c e E_s.

Passo 6

Como proceder se o problema for de verificação ao estado último (normas de concreto armado):
  • No estado último não-elástico costuma-se substituir a distribuição real de tensões no concreto por um “bloco retangular equivalente” (parâmetro \alpha e extensão \beta ou conforme a norma usada), e calcular as forças internas de compressão no concreto e tração no aço, impondo equilíbrio com o momento interno (ou seja, achar posição da linha neutra e as tensões admissíveis).
  • A verificação envolve resistência do concreto (valor característico f_{ck} e fcd reduzido) e armadura (usando f_{yd} para o cálculo das forças nas barras se estas alcançarem escoamento). Para a aplicação deste método são necessários: f_{ck} ou f_{cd}, detalhes do bloco de tensões da norma adotada, posição das barras e momento fletor último M_u.

Passo 7

Lista clara do que faltou no enunciado e por que é imprescindível:
  • O valor do momento fletor M (ou o esforço normal N mais M) que atua na seção — sem isto não se obtém nenhuma tensão numérica.
  • A posição vertical das barras (distância do centro ou da face comprimida; p.ex. cobrimento e distribuição das 4 barras) — necessário para calcular \sigma_s.
  • O módulo de elasticidade do concreto E_c (se for análise elástica de serviço) ou a resistência característica do concreto f_{ck} / f_{cd} e o critério de bloco de tensões (se for verificação última).
  • confirmação se a verificação é em estado de serviço (tensões elásticas) ou em estado último (resistência, onde se usa f_{yd} para o aço e blocos para o concreto).
    Sem esses dados a resposta numérica é indeterminada.

Passo 8

Exemplo simbólico-resumido (para uso na prova): fórmulas finais que você deverá aplicar quando tiver M e as posições das barras
  • Calcule n=\dfrac{E_s}{E_c}.
  • Transforme A_s em nA_s e ache o eixo neutro da seção transformada.
  • Calcule I_{\text{tr}}.
  • Curvatura: \displaystyle \varphi=\dfrac{M}{E_c I_{\text{tr}}}.
  • Tensões: \displaystyle \sigma_c(y)=\dfrac{M\,y}{I_{\text{tr}}} e \displaystyle \sigma_s=n\cdot\dfrac{M\,y_s}{I_{\text{tr}}}.
  • Compare \sigma_s com f_{yd} para ver se o aço escoa.

Passo 9

Resumo numérico das quantidades que consegui calcular com os dados que há (úteis para aplicar as fórmulas assim que vierem os dados faltantes):
A_{\text{bar}}=0{,}00012272\\ \text{m}^2\quad(\approx 122{,}72\\ \text{mm}^2),
A_s=4\cdot A_{\text{bar}}=0{,}00049087\\ \text{m}^2\quad(\approx 490{,}87\\ \text{mm}^2),
A_c=0{,}30\\ \text{m}^2,\qquad I_c=\frac{b h^3}{12}=0{,}025\\ \text{m}^4,\qquad y_c=0{,}50\\ \text{m}.
Estas são as peças que já estão prontas; com M, E_c e a posição das barras eu faço o resto da conta seguindo as fórmulas do Passo 8.

Passo 10

Recapitulando de forma encorajadora: infelizmente não posso dar um número final para “tensões máximas” com os dados incompletos — mas já te dei a receita de cozinha completa e calculei tudo o que era possível calcular com o que você mandou. Se na prova pedirem isso, procure primeiro identificar se te deram M (ou N e M) e a posição das barras; aplique o método da seção transformada (Passo 5 e Passo 8). Você consegue — eu tô torcendo por você!

Resposta

Não é possível determinar numericamente as tensões máximas com os dados fornecidos; faltam pelo menos o(s) esforço(s) interno(s) (por exemplo o momento fletor M e/ou esforço normal N), a posição vertical das barras (cobertura/distâncias até a fibra neutra) e a propriedade elástica do concreto E_c (ou, se for verificação última, f_{ck}/ f_{cd} e o critério de bloco de tensões).

Exercícios relacionados