Questão: Para a seção transversal retangular,
e
, da viga de concreto armado, pede-se determinar as tensões máximas na seção. Considerar quatro barras de diâmetro igual a 1,25 cm e a tensão de escoamento do aço fyd
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado me deu e o que ele pede (sem assumir nada que não esteja escrito). Dados fornecidos:
- Seção retangular com
e . - Quatro barras de aço com diâmetro
. - Tensão de escoamento do aço
.
O enunciado pede: determinar “as tensões máximas na seção”.
Observação importante: com os dados acima isolados não é possível obter valores numéricos únicos para as tensões máximas. Para calcular tensões (no concreto e no aço) é imprescindível conhecer, por exemplo, as ações internas que causam tensões (momento fletor , esforço normal
, ou o estado de deformação), e a posição geométrica exata das barras na seção (cobertura/posição em relação à fibra neutra), além das propriedades elásticas (módulos de elasticidade
e
) ou o critério de estado-limite adotado (estado elástico de serviço versus estado último com bloco retangular de tensões).
A partir daqui eu não vou pedir informações adicionais (conforme instrução), mas vou explicar passo a passo e didaticamente como se calcula as tensões máximas assim que os dados necessários estiverem disponíveis — e já calculo os valores geométricos que dá para obter com os dados que você enviou.
Observação importante: com os dados acima isolados não é possível obter valores numéricos únicos para as tensões máximas. Para calcular tensões (no concreto e no aço) é imprescindível conhecer, por exemplo, as ações internas que causam tensões (momento fletor
A partir daqui eu não vou pedir informações adicionais (conforme instrução), mas vou explicar passo a passo e didaticamente como se calcula as tensões máximas assim que os dados necessários estiverem disponíveis — e já calculo os valores geométricos que dá para obter com os dados que você enviou.
Passo 2
Cálculo das quantidades geométricas que já são determinadas pelos dados fornecidos (essas serão úteis no método):
- Área da seção de concreto:
- Área de uma barra (círculo de diâmetro
):
- Área total de aço:
- Taxa de armadura (relação entre áreas):
Comentário simpático: essa taxa é pequena — típico de vigas armadas (mas não se tira conclusão sem comparar com exigências normativas).
Passo 3
Momento de inércia da seção de concreto (retângulo) em torno do seu eixo neutro geométrico (centro):
A posição do centroide da seção reta (eixo neutro de uma seção só de concreto) é
medida a partir da base até o centro.
Passo 4
Explicação didática da ideia física: como se obtêm tensões na seção
- Em flexão simples (sem esforço normal), a hipótese clássica é a hipótese das seções planas: as deformações variam linearmente com a distância à fibra neutra; isto gera uma distribuição linear de tensão se o material for elástico (Lei de Hooke).
- Para um corpo homogêneo elástico (somente concreto), a tensão por flexão em uma fibra a distância
do eixo neutro vale a fórmula clássica:
onde
é o momento fletor,
o momento de inércia da seção (do conjunto material considerado) e
a distância entre a fibra considerada e o eixo neutro. Explicando cada termo:
(em
) é a resultante fletora externa;
(em
) mede a resistência geométrica à flexão;
(em m) é a alavanca até a fibra onde se quer a tensão. A unidade da tensão vem correta:
.
- Num elemento composto concreto+aço, aço e concreto têm módulos de elasticidade diferentes; portanto usa-se um procedimento de seções transformadas ou se resolve por compatibilidade de deformações e equilíbrio de forças.
Passo 5
Método prático (seção transformada) — explicação passo a passo da técnica elástica (serviço):
- Definir os módulos de elasticidade:
para aço e para concreto. Normalmente e varia (p.ex. – dependendo do concreto). Definir a razão modular:
- “Transformar” a seção de aço em área equivalente de concreto multiplicando
por . Assim obtém-se uma seção homogênea equivalente de concreto cuja inércia pode ser calculada somando da placa de concreto mais as áreas transformadas com suas respectivas distâncias ao eixo neutro (teorema de eixo paralelo — Steiner). - Se as barras não estiverem simetricamente distribuídas em relação ao centro, há que localizar a nova posição do eixo neutro da seção transformada resolvendo a equação de equilíbrio (soma dos momentos das áreas em relação a um eixo = 0). Em equação:
onde
são as áreas transformadas (
do concreto e
das barras transformadas) e
as abscissas dos seus centroides.
4) Uma vez com conhecido, a curvatura devido a um momento aplicado
é
4) Uma vez com
- A partir da curvatura, a deformação em uma fibra a distância
à fibra neutra é . Assim as tensões são:
- No concreto (assumindo comportamento elástico):
- No aço (na posição
):
Essas fórmulas mostram: para obter tensões numéricas é necessário conhecer
(e, se houver,
o esforço normal axial), a posição vertical de cada barra
em relação ao eixo neutro, e os módulos
e
.
Passo 6
Como proceder se o problema for de verificação ao estado último (normas de concreto armado):
- No estado último não-elástico costuma-se substituir a distribuição real de tensões no concreto por um “bloco retangular equivalente” (parâmetro
e extensão ou conforme a norma usada), e calcular as forças internas de compressão no concreto e tração no aço, impondo equilíbrio com o momento interno (ou seja, achar posição da linha neutra e as tensões admissíveis). - A verificação envolve resistência do concreto (valor característico
e fcd reduzido) e armadura (usando para o cálculo das forças nas barras se estas alcançarem escoamento). Para a aplicação deste método são necessários: ou , detalhes do bloco de tensões da norma adotada, posição das barras e momento fletor último .
Passo 7
Lista clara do que faltou no enunciado e por que é imprescindível:
- O valor do momento fletor
(ou o esforço normal mais ) que atua na seção — sem isto não se obtém nenhuma tensão numérica. - A posição vertical das barras (distância do centro ou da face comprimida; p.ex. cobrimento e distribuição das 4 barras) — necessário para calcular
. - O módulo de elasticidade do concreto
(se for análise elástica de serviço) ou a resistência característica do concreto / e o critério de bloco de tensões (se for verificação última). - confirmação se a verificação é em estado de serviço (tensões elásticas) ou em estado último (resistência, onde se usa
para o aço e blocos para o concreto).
Sem esses dados a resposta numérica é indeterminada.
Passo 8
Exemplo simbólico-resumido (para uso na prova): fórmulas finais que você deverá aplicar quando tiver
e as posições das barras
- Calcule
. - Transforme
em e ache o eixo neutro da seção transformada. - Calcule
. - Curvatura:
. - Tensões:
e . - Compare
com para ver se o aço escoa.
Passo 9
Resumo numérico das quantidades que consegui calcular com os dados que há (úteis para aplicar as fórmulas assim que vierem os dados faltantes):
Estas são as peças que já estão prontas; com
,
e a posição das barras eu faço o resto da conta seguindo as fórmulas do Passo 8.
Passo 10
Recapitulando de forma encorajadora: infelizmente não posso dar um número final para “tensões máximas” com os dados incompletos — mas já te dei a receita de cozinha completa e calculei tudo o que era possível calcular com o que você mandou. Se na prova pedirem isso, procure primeiro identificar se te deram
(ou
e
) e a posição das barras; aplique o método da seção transformada (Passo 5 e Passo 8). Você consegue — eu tô torcendo por você!
Resposta
Não é possível determinar numericamente as tensões máximas com os dados fornecidos; faltam pelo menos o(s) esforço(s) interno(s) (por exemplo o momento fletor
e/ou esforço normal
), a posição vertical das barras (cobertura/distâncias até a fibra neutra) e a propriedade elástica do concreto
(ou, se for verificação última,
/
e o critério de bloco de tensões).