Determine o tempo de carbonetação necessário para atingir uma concentração de C de
p em uma posição a 4 mm da superfície de uma liga Fe-C contendo inicialmente
p C. A concentração na superfície deve ser mantida em
p C e o tratamento conduzido a
. Utilize os dados de difusão para o Fe-
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o tempo de cementação (carbonetação) necessário para que, a uma profundidade de
da superfície, a concentração de carbono atinja
em massa, partindo de uma liga com concentração inicial
em massa. A superfície é mantida em
em massa e o tratamento ocorre a
. Dados fornecidos (retirei os valores diretamente do enunciado):
- profundidade onde se deseja a concentração: \ \mathrm{m});
- concentração inicial uniforme no volume: \ %\ p);
- concentração mantida na superfície: \ %\ p);
- concentração desejada na profundidade
: \ %\ p); - temperatura do tratamento: \ \mathrm{K}).
A equação fornecida que relaciona o perfil de concentração é
onde
é o coeficiente de difusão do carbono na austenita (Fe-
) à temperatura dada e
é o tempo que queremos encontrar.
Passo 2
Entendendo a equação e o que vamos fazer (mini-aula rápida, passo a passo):
- A equação acima é a solução para difusão unidimensional em um semi-espaço com concentração inicial uniforme
e concentração superficial mantida constante . Ela vem da lei de Fick (segunda lei) resolvida para essa condição de contorno e usa a função erro . - Significado das variáveis:
-
: concentração no ponto após tempo ; -
: concentração inicial (no volume); -
: concentração na superfície (fixa durante o tratamento); -
: coeficiente de difusão do elemento (aqui carbono em Fe- ) à temperatura do processo; -
: profundidade medida a partir da superfície; -
: tempo de tratamento; -
: função erro, função monotônica de ligada à distribuição normal; sua inversa será usada para isolar .
-
- Método geral para obter
: a equação pode ser rearranjada para isolar o argumento da , depois usar a inversa da e finalmente resolver para . Esquematicamente: - calcular a razão
; - achar
tal que , ou seja ; - então
; - despejar
de obtendo
- calcular a razão
- Portanto precisamos de um valor de
à (dados do Fe- ). Como o enunciado só diz “Utilize os dados de difusão para o Fe- ” e não fornece explicitamente , vou usar um valor típico conhecido na literatura para difusão do carbono na austenita e mostrar como foi obtido (se estiver em prova, normalmente o professor fornece ou espera o uso de uma tabela; aqui explico como calcular a partir da lei de Arrhenius).
Passo 3
Calcular a razão de concentrações a partir dos valores fornecidos:
Usando a equação,
Logo precisamos de
tal que
. Para obter
podemos usar a relação entre
e a função distribuição normal padrão
:
Assim:
Agora usamos a inversa da distribuição normal:
Sabendo (tabela ou calculadora) que
, obtemos
(Portanto
.)
Passo 4
Determinar
para carbono em Fe-
a
. Vou usar a forma de Arrhenius
onde:
-
é o pré-exponencial (constante) típico para carbono em austenita, vou tomar (valor comum em compilações da literatura); -
é a energia de ativação, tomo (valor típico para difusão intersticial de carbono em austenita); -
; -
.
Calculemos o expoente:
Então
Observação importante (se preparando para a prova): em exercícios práticos, o professor pode fornecer diretamente
ou a tabela
. Aqui usei valores típicos; se a tabela da sua aula der outro
, repita os próximos cálculos usando esse
.
Passo 5
Agora voltamos à fórmula para
. Temos
Substituindo
,
e
:
- calcular
:
- calcular
:
- calcular o denominador
:
- finalmente
Converter para unidades mais usuais:
Comentário didático e prático: o tempo calculado é relativamente curto porque o carbono difunde rapidamente na austenita. Se na sua prova o valor de
fornecido for diferente, repita exatamente o mesmo procedimento: calcule
e use
. Se quiser, posso refazer com o valor de
que aparecer nas suas anotações ou na apostila.
Passo 6
Verificação rápida de sensibilidade (pra você levar para a prova): se
tivesse um erro por fator
(comum se diferente fonte tiver constantes ligeiramente diferentes), o tempo muda aproximadamente pelo inverso desse fator (porque
). Por exemplo, se
(duas vezes maior), então
(cerca de
min). Isso mostra que é mais importante usar o
correto da tabela do seu curso.