Determine o tempo de carbonetação necessário para atingir uma concentração de C de 0,3 \% p em uma posição a 4 mm da superfície de uma liga Fe-C contendo inicialmente 0,1 \% p C. A concentração na superfície deve ser mantida em 0,9 \% p C e o tratamento conduzido a 1050^{\circ} \mathrm{C}. Utilize os dados de difusão para o Fe- \gamma.
J=-D \frac{d C}{d x} \quad \frac{C_{x}-C_{0}}{C_{s}-C_{0}}=1-\operatorname{erf}\left(\frac{x}{2 \sqrt{D t}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o tempo de cementação (carbonetação) necessário para que, a uma profundidade de 4\\ \mathrm{mm} da superfície, a concentração de carbono atinja 0,3\% em massa, partindo de uma liga com concentração inicial 0,1\% em massa. A superfície é mantida em 0,9\% em massa e o tratamento ocorre a 1050^\circ\mathrm{C}. Dados fornecidos (retirei os valores diretamente do enunciado):
  • profundidade onde se deseja a concentração: x = 4\\ \mathrm{mm} = \(0,004\ \mathrm{m});
  • concentração inicial uniforme no volume: C_{0} = \(0,1\ %\ p);
  • concentração mantida na superfície: C_{s} = \(0,9\ %\ p);
  • concentração desejada na profundidade x: C_{x} = \(0,3\ %\ p);
  • temperatura do tratamento: T = 1050^\circ\mathrm{C} = \(1323\ \mathrm{K}).
A equação fornecida que relaciona o perfil de concentração é
\frac{C_{x}-C_{0}}{C_{s}-C_{0}}=1-\operatorname{erf}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{D t}}\right),
onde D é o coeficiente de difusão do carbono na austenita (Fe- \gamma) à temperatura dada e t é o tempo que queremos encontrar.

Passo 2

Entendendo a equação e o que vamos fazer (mini-aula rápida, passo a passo):
  • A equação acima é a solução para difusão unidimensional em um semi-espaço com concentração inicial uniforme C_0 e concentração superficial mantida constante C_s. Ela vem da lei de Fick (segunda lei) resolvida para essa condição de contorno e usa a função erro \operatorname{erf}.
  • Significado das variáveis:
    • C_x: concentração no ponto x após tempo t;
    • C_0: concentração inicial (no volume);
    • C_s: concentração na superfície (fixa durante o tratamento);
    • D: coeficiente de difusão do elemento (aqui carbono em Fe- \gamma) à temperatura do processo;
    • x: profundidade medida a partir da superfície;
    • t: tempo de tratamento;
    • \operatorname{erf}(u): função erro, função monotônica de u ligada à distribuição normal; sua inversa \operatorname{erf}^{-1} será usada para isolar t.
  • Método geral para obter t: a equação pode ser rearranjada para isolar o argumento da \operatorname{erf}, depois usar a inversa da \operatorname{erf} e finalmente resolver para t. Esquematicamente:
    1. calcular a razão R=\dfrac{C_x-C_0}{C_s-C_0};
    2. achar u=\dfrac{x}{2\sqrt{D t}} tal que 1-\operatorname{erf}(u)=R, ou seja \operatorname{erf}(u)=1-R;
    3. então u=\operatorname{erf}^{-1}(1-R);
    4. despejar t de u=\dfrac{x}{2\sqrt{D t}} obtendo
    t=\frac{x^{2}}{4 D u^{2}}.
  • Portanto precisamos de um valor de D à 1323\\ \mathrm{K} (dados do Fe- \gamma). Como o enunciado só diz “Utilize os dados de difusão para o Fe- \gamma” e não fornece explicitamente D, vou usar um valor típico conhecido na literatura para difusão do carbono na austenita e mostrar como foi obtido (se estiver em prova, normalmente o professor fornece ou espera o uso de uma tabela; aqui explico como calcular a partir da lei de Arrhenius).

Passo 3

Calcular a razão de concentrações a partir dos valores fornecidos:
R=\frac{C_{x}-C_{0}}{C_{s}-C_{0}}=\frac{0,3-0,1}{0,9-0,1}=\frac{0,2}{0,8}=0,25.
Usando a equação,
1-\operatorname{erf}(u)=R \quad\Rightarrow\quad \operatorname{erf}(u)=1-R=0,75.
Logo precisamos de u tal que \operatorname{erf}(u)=0,75. Para obter u podemos usar a relação entre \operatorname{erf} e a função distribuição normal padrão \Phi:
\operatorname{erf}(u)=2\Phi(u\sqrt{2})-1.
Assim:
2\Phi(u\sqrt{2})-1=0,75 \quad\Rightarrow\quad \Phi(u\sqrt{2})=\frac{1+0,75}{2}=0,875.
Agora usamos a inversa da distribuição normal:
u\sqrt{2}=\Phi^{-1}(0,875).
Sabendo (tabela ou calculadora) que \Phi^{-1}(0,875)\approx 1,15035, obtemos
u=\frac{1,15035}{\sqrt{2}}\approx 0,813.
(Portanto \operatorname{erf}^{-1}(0,75)\approx 0,813.)

Passo 4

Determinar D para carbono em Fe- \gamma a 1050^\circ\mathrm{C}. Vou usar a forma de Arrhenius
D=D_{0}\exp\!\left(-\frac{Q}{R T}\right),
onde:
  • D_{0} é o pré-exponencial (constante) típico para carbono em austenita, vou tomar D_{0}=2{,}3\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}^{2}\!/\mathrm{s} (valor comum em compilações da literatura);
  • Q é a energia de ativação, tomo Q=80\\\ 000\\ \mathrm{J/mol} (valor típico para difusão intersticial de carbono em austenita);
  • R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)};
  • T=1323\\ \mathrm{K}.
Calculemos o expoente:
-\frac{Q}{R T}=-\frac{80\,000}{8{,}314\cdot 1323}\approx -7{,}272.
Então
D=2{,}3\times 10^{-5}\exp(-7{,}272)\approx 2{,}3\times 10^{-5}\cdot 6{,}95\times 10^{-4}\approx 1{,}60\times 10^{-8}\\ \mathrm{m}^{2}\!/\mathrm{s}.
Observação importante (se preparando para a prova): em exercícios práticos, o professor pode fornecer diretamente D ou a tabela D(T). Aqui usei valores típicos; se a tabela da sua aula der outro D, repita os próximos cálculos usando esse D.

Passo 5

Agora voltamos à fórmula para t. Temos
t=\frac{x^{2}}{4 D u^{2}}.
Substituindo x=0{,}004\\ \mathrm{m}, D=1{,}60\times 10^{-8}\\ \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s} e u=0{,}813:
  • calcular x^{2}:
x^{2}=(0{,}004)^{2}=1{,}6\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}^{2}.
  • calcular u^{2}:
u^{2}=(0{,}813)^{2}\approx 0{,}661.
  • calcular o denominador 4 D u^{2}:
4 D u^{2}=4\cdot(1{,}60\times 10^{-8})\cdot 0{,}661 \approx 4{,}23\times 10^{-8}\\ \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}.
  • finalmente
t=\frac{1{,}6\times 10^{-5}}{4{,}23\times 10^{-8}}\approx 378\\ \mathrm{s}.
Converter para unidades mais usuais:
378\\ \mathrm{s}\approx 6{,}3\\ \mathrm{min}\approx 0{,}105\\ \mathrm{h}.
Comentário didático e prático: o tempo calculado é relativamente curto porque o carbono difunde rapidamente na austenita. Se na sua prova o valor de D fornecido for diferente, repita exatamente o mesmo procedimento: calcule u=\operatorname{erf}^{-1}(1-R) e use t=x^{2}/(4 D u^{2}). Se quiser, posso refazer com o valor de D que aparecer nas suas anotações ou na apostila.

Passo 6

Verificação rápida de sensibilidade (pra você levar para a prova): se D tivesse um erro por fator 2 (comum se diferente fonte tiver constantes ligeiramente diferentes), o tempo muda aproximadamente pelo inverso desse fator (porque t\propto 1/D). Por exemplo, se D=3{,}2\times 10^{-8}\\ \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s} (duas vezes maior), então t\approx 189\\ \mathrm{s} (cerca de 3{,}2 min). Isso mostra que é mais importante usar o D correto da tabela do seu curso.

Resposta

t\approx 378\\ \mathrm{s}\approx 6,3\\ \mathrm{min}

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