Uma indústria de tintas fabrica um mixing de resinas como matéria prima. Uma delas é a resina fenólica. Há necessidade de um transporte de um tanque para um reator de produção da tinta, onde será inserido: resina, ligante, solvente, veículo, pigmentos, cargas e aditivos. No reator entrar uma vazão mássica segundo tabela:
Componente Fração mássica (%)
Resina fenólica 35%
Solvente 25%
Pigmentos/cargas 35%
Aditivos 5%
Deseja-se produzir (500 Kg / h) de tinta em uma única batelada.
A tabela 3 apresenta a viscosidade da resina em detrimento a temperatura, fator importante para confecção do tanque:
Temperatura left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right) Temperatura (K) Viscosidade (mPa’s) Comportamento
10 283 3200 Muito viscosa
15 288 2400 Alta resistência ao escoamento
20 293 1800 Alta viscosidade
25 298 1500 Referência
30 303 1100 Boa fluidez
35 308 850 Ideal para mistura
40 313 650 Fácil bombeamento
45 318 520 Baixa viscosidade
50 323 420 Muito fluida
60 333 280 Próximo de solvente pesado
Sabe-se que a potência da agitação do tanque é proporcional a viscosidade.
Qual tensão de cisalhamento na haste do impelidor no tanque considerando que o gradiente de velocidade no tanque deve ser de 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s} / \mathrm{m}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que ele pede (sem resolver ainda).
  • Produção desejada: 500\\ \mathrm{kg/h} (dado do enunciado).
  • Composição mássica do batelada: resina fenólica 35\%, solvente 25\%, pigmentos/cargas 35\%, aditivos 5\%.
  • Tabela de viscosidade da resina em função da temperatura (peguei esses valores da tabela fornecida): por exemplo, em 35\\ ^\circ\mathrm{C} a viscosidade é 850\\ \mathrm{mPa\cdot s}.
  • Gradiente de velocidade (taxa de deformação) no tanque: \dfrac{du}{dy}=2\\ \mathrm{m/s\\ per\\ m}.
  • Pergunta: qual é a tensão de cisalhamento na haste do impelidor no tanque considerando esse gradiente de velocidade?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e aplicada).
  • Para um fluido newtoniano a tensão de cisalhamento \tau está relacionada com a viscosidade dinâmica \eta e o gradiente de velocidade (taxa de deformação) \dot\gamma pela lei de Newton do escoamento:
\tau = \eta \,\dot\gamma.
  • Onde:
    • \tau é a tensão de cisalhamento (unidade: \mathrm{Pa});
    • \eta é a viscosidade dinâmica (unidade: \mathrm{Pa\cdot s});
    • \dot\gamma=\dfrac{du}{dy} é o gradiente de velocidade ou taxa de deformação (unidade: \mathrm{s^{-1}}).
  • Observação sobre unidades: o enunciado dá viscosidade em \mathrm{mPa\cdot s} (mili‑Pascal segundo). A conversão é
1\\ \mathrm{mPa\cdot s} = 10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  • O gradiente informado \dfrac{du}{dy}=2\\ \mathrm{m/s\\ per\\ m} simplifica para 2\\ \mathrm{s^{-1}} (porque \mathrm{m/s} dividido por \mathrm{m} = \mathrm{s^{-1}}).

Passo 3

Escolha da viscosidade e conversão (decisão prática).
  • O enunciado não especificou a temperatura de operação do tanque. Como a tabela descreve que em 35\\ ^\circ\mathrm{C} a resina está em condição “Ideal para mistura”, vou usar esse valor para estimativa prática. (Informo explicitamente: peguei o valor da tabela fornecida: viscosidade em 35\\ ^\circ\mathrm{C} = 850\\ \mathrm{mPa\cdot s}.)
  • Converter \eta para \mathrm{Pa\cdot s}:
\eta = 850\\ \mathrm{mPa\cdot s} = 850\times 10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s} = 0,85\\ \mathrm{Pa\cdot s}.

Passo 4

Cálculo da tensão de cisalhamento.
  • Aplicando \tau=\eta\,\dot\gamma com \eta=0,85\\ \mathrm{Pa\cdot s} e \dot\gamma=2\\ \mathrm{s^{-1}}:
\tau = 0,85\\ \mathrm{Pa\cdot s}\times 2\\ \mathrm{s^{-1}} = 1,7\\ \mathrm{Pa}.
  • Interpretação curta: isso significa que, sob as condições assumidas, a haste do impelidor “sente” uma tensão de cisalhamento de cerca de 1,7\\ \mathrm{Pa}.

Passo 5

Observações práticas e sensibilidade (para te deixar confiante).
  • A tensão calculada depende diretamente da viscosidade; se a temperatura for diferente, o valor muda bastante (ex.: usando 25\\ ^\circ\mathrm{C} com \eta=1500\\ \mathrm{mPa\cdot s} teria \tau=3,0\\ \mathrm{Pa}; a 50\\ ^\circ\mathrm{C} com \eta=420\\ \mathrm{mPa\cdot s} daria \tau=0,84\\ \mathrm{Pa}).
  • Como a mistura final contém solvente e pigmentos, a viscosidade do produto real pode ser diferente da da resina pura; para projeto mais preciso, medir a viscosidade da mistura na temperatura de operação é o ideal.
  • Mas para uma estimativa rápida e prática de dimensionamento do tanque/haste, o procedimento que fiz (pegar viscosidade da tabela e aplicar \tau=\eta\dot\gamma) é o caminho correto.

Resposta

1,7\\ \mathrm{Pa}

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