Questão (30 pontos):
Calcule a Transformada de Laplace das seguintes funções:
Calcule a Transformada de Laplace das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: calcular a Transformada de Laplace da função
Informações relevantes dadas:
O que será entregue no final: a expressão de
(ou seja,
) e a região de convergência em
.
Passo 2
Definição e propriedades que vamos usar (explicadas passo a passo).
Definição da Transformada de Laplace:
onde
é a variável de tempo e
é uma variável complexa. A integral converge para valores de
em que o integrando decai suficiente rápido; esse conjunto é a região de convergência (ROC).
Propriedade de linearidade (ferramenta principal aqui):
para constantes
. Usaremos linearidade para transformar termo a termo.
Também usaremos duas fórmulas básicas (vou derivá-las rapidamente para você confiar nelas):
- Transformada de
:
desde que
(para garantir que
quando
).
- Propriedade de diferenciação em
(útil para potências de ):
Aplicando com
e
obteremos a transformada de
abaixo.
Passo 3
Transformada do primeiro termo:
.
Primeiro escrevemos a identidade da hiperbólica:
Portanto
Agora aplicamos a transformada de
termo a termo (pela linearidade):
válido para
(a interseção das ROCs é dominada pelo maior polo real aqui, que é
).
Podemos simplificar essa soma de frações. Juntando em um único quociente:
Passo 4
Transformada do segundo termo:
.
Usamos a propriedade de diferenciação em
. Para
sabemos que
Aplicando a fórmula com
:
Calcule as derivadas explicitamente:
Logo
válido para
.
Observação prática para prova: você pode memorizar que
. Aqui
dá
.
Passo 5
Transformada do terceiro termo:
(constante).
Pelo cálculo direto:
válido para
.
Passo 6
Somando tudo (linearidade):
é a soma das três transformadas obtidas.
Usando os resultados dos passos anteriores:
Portanto
Passo 7
Região de convergência (ROC). Cada termo requer:
A região comum (interseção) é
. Então a expressão de
é válida para
.