1^{\underline{\text { a }}} Questão (30 pontos):
Calcule a Transformada de Laplace das seguintes funções:
y(t)=e^{2 t} \operatorname{cosh} t+t^{2} e^{2 t}-\frac{2}{\pi}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a Transformada de Laplace da função
y(t)=e^{2t}\operatorname{cosh} t + t^{2} e^{2t} - \frac{2}{\pi}.
Informações relevantes dadas:
\begin{aligned} &\text{Função a transformar: }y(t)=e^{2t}\operatorname{cosh} t + t^{2} e^{2t} - \frac{2}{\pi},\\\ &\text{variável temporal: }t\ge 0 \text{ (pressuposto usual para Laplace).} \end{aligned}çãá
O que será entregue no final: a expressão de \mathcal{L}\{y(t)\}(s) (ou seja, Y(s)) e a região de convergência em s.

Passo 2

Definição e propriedades que vamos usar (explicadas passo a passo).
Definição da Transformada de Laplace:
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt,
onde t é a variável de tempo e s é uma variável complexa. A integral converge para valores de s em que o integrando decai suficiente rápido; esse conjunto é a região de convergência (ROC).
Propriedade de linearidade (ferramenta principal aqui):
\mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}(s)=a\,\mathcal{L}\{f(t)\}(s)+b\,\mathcal{L}\{g(t)\}(s),
para constantes a,b. Usaremos linearidade para transformar termo a termo.
Também usaremos duas fórmulas básicas (vou derivá-las rapidamente para você confiar nelas):
  1. Transformada de e^{at}:
\mathcal{L}\{e^{at}\}(s)=\int_0^\infty e^{-st} e^{at}\,dt=\int_0^\infty e^{-(s-a)t}\,dt=\left[\frac{e^{-(s-a)t}}{-(s-a)}\right]_0^\infty=\frac{1}{s-a},
desde que \operatorname{Re}(s)> \operatorname{Re}(a) (para garantir que e^{-(s-a)t}\to 0 quando t\to\infty).
  1. Propriedade de diferenciação em s (útil para potências de t):
\mathcal{L}\{t^n f(t)\}(s)=(-1)^n \frac{d^n}{ds^n}\big(\mathcal{L}\{f(t)\}(s)\big).
Aplicando com f(t)=e^{at} e n=2 obteremos a transformada de t^2 e^{at} abaixo.

Passo 3

Transformada do primeiro termo: \;e^{2t}\operatorname{cosh} t.
Primeiro escrevemos a identidade da hiperbólica:
\operatorname{cosh} t=\frac{e^{t}+e^{-t}}{2}.
Portanto
e^{2t}\operatorname{cosh} t=e^{2t}\cdot\frac{e^{t}+e^{-t}}{2}=\frac{1}{2}\big(e^{3t}+e^{t}\big).
Agora aplicamos a transformada de e^{at} termo a termo (pela linearidade):
\mathcal{L}\{e^{2t}\operatorname{cosh} t\}(s)=\frac{1}{2}\left(\mathcal{L}\{e^{3t}\}(s)+\mathcal{L}\{e^{t}\}(s)\right) =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-3}+\frac{1}{s-1}\right),
válido para \operatorname{Re}(s)>\!3 (a interseção das ROCs é dominada pelo maior polo real aqui, que é 3).
Podemos simplificar essa soma de frações. Juntando em um único quociente:
\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-3}+\frac{1}{s-1}\right) =\frac{1}{2}\cdot\frac{(s-1)+(s-3)}{(s-3)(s-1)} =\frac{1}{2}\cdot\frac{2s-4}{(s-3)(s-1)} =\frac{s-2}{(s-3)(s-1)}.

Passo 4

Transformada do segundo termo: \;t^{2} e^{2t}.
Usamos a propriedade de diferenciação em s. Para f(t)=e^{2t} sabemos que
\mathcal{L}\{e^{2t}\}(s)=\frac{1}{s-2},\qquad \text{para }\operatorname{Re}(s)>2.
Aplicando a fórmula com n=2:
\mathcal{L}\{t^{2} e^{2t}\}(s)=(-1)^2\frac{d^2}{ds^2}\left(\frac{1}{s-2}\right)=\frac{d^2}{ds^2}\left((s-2)^{-1}\right).
Calcule as derivadas explicitamente:
\frac{d}{ds}\left((s-2)^{-1}\right) = - (s-2)^{-2},
\frac{d^2}{ds^2}\left((s-2)^{-1}\right) = -\frac{d}{ds}\left((s-2)^{-2}\right) = -\big(-2 (s-2)^{-3}\big)=2 (s-2)^{-3}.
Logo
\mathcal{L}\{t^{2} e^{2t}\}(s)=\frac{2}{(s-2)^{3}},
válido para \operatorname{Re}(s)>2.
Observação prática para prova: você pode memorizar que \mathcal{L}\{t^n e^{at}\}=\dfrac{n!}{(s-a)^{n+1}}. Aqui n=2 2!/(s-2)^3=2/(s-2)^3.

Passo 5

Transformada do terceiro termo: \;-\dfrac{2}{\pi} (constante).
Pelo cálculo direto:
\mathcal{L}\left\{-\frac{2}{\pi}\right\}(s)=-\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt=-\frac{2}{\pi}\cdot\frac{1}{s}=-\frac{2}{\pi s},
válido para \operatorname{Re}(s)>0.

Passo 6

Somando tudo (linearidade): \;Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s) é a soma das três transformadas obtidas.
Usando os resultados dos passos anteriores:
\mathcal{L}\{e^{2t}\operatorname{cosh} t\}(s)=\frac{s-2}{(s-3)(s-1)},
\mathcal{L}\{t^{2} e^{2t}\}(s)=\frac{2}{(s-2)^{3}},
\mathcal{L}\left\{-\frac{2}{\pi}\right\}(s)=-\frac{2}{\pi s}.
Portanto
Y(s)=\frac{s-2}{(s-3)(s-1)}+\frac{2}{(s-2)^{3}}-\frac{2}{\pi s}.

Passo 7

Região de convergência (ROC). Cada termo requer:
\begin{aligned} &\frac{s-2}{(s-3)(s-1)} \text{ vem de } e^{3t}\text{ e }e^{t},\\ \text{ROC: } \operatorname{Re}(s)>\!3,\\\ &\frac{2}{(s-2)^{3}} \text{ vem de } t^{2}e^{2t},\\ \text{ROC: } \operatorname{Re}(s)>\!2,\\\ &-\frac{2}{\pi s} \text{ (constante), ROC: } \operatorname{Re}(s)>\!0. \end{aligned}
A região comum (interseção) é \operatorname{Re}(s)>\!3. Então a expressão de Y(s) é válida para \operatorname{Re}(s)>\!3.

Resposta

\boxed{Y(s)=\frac{s-2}{(s-3)(s-1)}+\frac{2}{(s-2)^{3}}-\frac{2}{\pi s},\qquad \operatorname{Re}(s)>\!3.}

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