Uma partícula com energia
se aproxima de uma barreira de potencial de altura
. De acordo com a mecânica quântica, existe uma probabilidade finita de que a partícula tunele através da barreira. Se a altura da barreira for lentamente aumentada, o que se pode afirmar sobre a probabilidade de que a partícula seja refletida na barreira?
Escolha uma opção:
◯ a. A probabilidade diminuirá.
◯ b. A probabilidade aumentará.
◯ c. A probabilidade não será alterada.
◯ d. Não temos informação suficiente dada no enunciado para podermos afirmar se haverá alteração na probabilidade.
◯ a. A probabilidade diminuirá.
◯ b. A probabilidade aumentará.
◯ c. A probabilidade não será alterada.
◯ d. Não temos informação suficiente dada no enunciado para podermos afirmar se haverá alteração na probabilidade.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o seguinte:
- Informações dadas:
- A energia da partícula é
. - A altura inicial da barreira é
. - A barreira é tal que, pela mecânica quântica, existe tunelamento (ou seja,
). - A altura da barreira é aumentada lentamente (ou seja,
cresce).
- A energia da partícula é
- Pergunta: o que acontece com a probabilidade de que a partícula seja refletida na barreira quando a altura da barreira aumenta?
- As alternativas fornecidas são:
- a. A probabilidade diminuirá.
- b. A probabilidade aumentará.
- c. A probabilidade não será alterada.
- d. Não temos informação suficiente.
Passo 2
Conceito básico de tunelamento (explicação didática): quando uma partícula com energia
menor que a altura da barreira
incide sobre uma barreira retangular, a solução da equação de Schrödinger dentro da região da barreira é decrescente exponencialmente. Isso significa que a amplitude da função de onda dentro da barreira cai como uma exponencial, e a probabilidade de atravessar a barreira (transmissão) é, em geral, pequena mas não zero. A reflexão é o complemento da transmissão (em espalhamento elástico unidimensional, sem perda), portanto
onde
é a probabilidade de reflexão e
é a probabilidade de transmissão.
Passo 3
Fórmula-chave e o que cada termo significa: para uma barreira retangular de largura
e para o caso
, define-se
onde
-
é a massa da partícula, -
é a constante de Planck reduzida, -
é a taxa de decaimento exponencial da função de onda dentro da barreira (maior → decaimento mais rápido).
Para uma barreira “opaca” (quando
), a dependência dominante da probabilidade de transmissão é exponencial:
Não precisamos do fator de proporcionalidade exato para decidir o efeito qualitativo; o ponto importante é que
decai exponencialmente com
e com a largura
.
Passo 4
Como
afeta
: a expressão de
mostra explicitamente que, para
fixo,
aumenta quando
aumenta, porque
aumenta. Portanto
é uma função crescente de
.
Passo 5
Consequência imediata sobre
: como
, um aumento de
aumenta
, e isso faz com que
diminua. Logo
diminui quando
aumenta. Para ver isso de forma mais matemática, podemos escrever (formalmente)
pois
. Isso confirma que
decresce com
.
Passo 6
Relação com a probabilidade de reflexão
: usando a conservação
, se
diminui quando
aumenta, então necessariamente
aumenta quando
aumenta. Em palavras: menos partículas conseguem tunelar, logo mais são refletidas.
Passo 7
Observações sobre hipóteses implícitas (para não nos enrolarmos): essa conclusão assume o caso padrão de espalhamento unidimensional, elástico, sem processos dissipativos ou canais adicionais de perda, e que apenas a altura
foi variada (a largura
mantida fixa). Essas são hipóteses típicas e razoáveis dada a formulação do enunciado. Com essas hipóteses, a conclusão é firme.
Resposta
b. A probabilidade aumentará.