Uma partícula com energia E=5 \mathrm{eV} se aproxima de uma barreira de potencial de altura V_{0}=8 \mathrm{eV}. De acordo com a mecânica quântica, existe uma probabilidade finita de que a partícula tunele através da barreira. Se a altura da barreira for lentamente aumentada, o que se pode afirmar sobre a probabilidade de que a partícula seja refletida na barreira?
Escolha uma opção:
◯ a. A probabilidade diminuirá.
◯ b. A probabilidade aumentará.
◯ c. A probabilidade não será alterada.
◯ d. Não temos informação suficiente dada no enunciado para podermos afirmar se haverá alteração na probabilidade.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o seguinte:
  • Informações dadas:
    • A energia da partícula é \displaystyle E=5\\ \mathrm{eV}.
    • A altura inicial da barreira é \displaystyle V_{0}=8\\ \mathrm{eV}.
    • A barreira é tal que, pela mecânica quântica, existe tunelamento (ou seja, \displaystyle E<V_{0}).
    • A altura da barreira é aumentada lentamente (ou seja, V_{0} cresce).
  • Pergunta: o que acontece com a probabilidade de que a partícula seja refletida na barreira quando a altura da barreira aumenta?
  • As alternativas fornecidas são:
    • a. A probabilidade diminuirá.
    • b. A probabilidade aumentará.
    • c. A probabilidade não será alterada.
    • d. Não temos informação suficiente.

Passo 2

Conceito básico de tunelamento (explicação didática): quando uma partícula com energia \displaystyle E menor que a altura da barreira \displaystyle V_{0} incide sobre uma barreira retangular, a solução da equação de Schrödinger dentro da região da barreira é decrescente exponencialmente. Isso significa que a amplitude da função de onda dentro da barreira cai como uma exponencial, e a probabilidade de atravessar a barreira (transmissão) é, em geral, pequena mas não zero. A reflexão é o complemento da transmissão (em espalhamento elástico unidimensional, sem perda), portanto
R + T = 1,
onde R é a probabilidade de reflexão e T é a probabilidade de transmissão.

Passo 3

Fórmula-chave e o que cada termo significa: para uma barreira retangular de largura \displaystyle a e para o caso \displaystyle E<V_{0}, define-se
\kappa=\frac{\sqrt{2m\,(V_{0}-E)}}{\hbar},
onde
  • \displaystyle m é a massa da partícula,
  • \displaystyle \hbar é a constante de Planck reduzida,
  • \displaystyle \kappa é a taxa de decaimento exponencial da função de onda dentro da barreira (maior \kappa → decaimento mais rápido).
Para uma barreira “opaca” (quando \displaystyle \kappa a\gg 1), a dependência dominante da probabilidade de transmissão é exponencial:
T \propto e^{-2\kappa a}.
Não precisamos do fator de proporcionalidade exato para decidir o efeito qualitativo; o ponto importante é que T decai exponencialmente com \kappa e com a largura \displaystyle a.

Passo 4

Como \displaystyle V_{0} afeta \displaystyle \kappa: a expressão de \displaystyle \kappa mostra explicitamente que, para \displaystyle E fixo,
\kappa=\frac{\sqrt{2m\,(V_{0}-E)}}{\hbar}
aumenta quando \displaystyle V_{0} aumenta, porque \displaystyle V_{0}-E aumenta. Portanto \displaystyle \kappa é uma função crescente de \displaystyle V_{0}.

Passo 5

Consequência imediata sobre \displaystyle T: como \displaystyle T\propto e^{-2\kappa a}, um aumento de \displaystyle V_{0} aumenta \displaystyle \kappa, e isso faz com que \displaystyle e^{-2\kappa a} diminua. Logo \displaystyle T diminui quando \displaystyle V_{0} aumenta. Para ver isso de forma mais matemática, podemos escrever (formalmente)
\frac{d\ln T}{dV_{0}} = -2a\,\frac{d\kappa}{dV_{0}}<0,
pois \displaystyle d\kappa/dV_{0}>0. Isso confirma que T decresce com V_{0}.

Passo 6

Relação com a probabilidade de reflexão R: usando a conservação R+T=1, se \displaystyle T diminui quando \displaystyle V_{0} aumenta, então necessariamente
R = 1-T
aumenta quando \displaystyle V_{0} aumenta. Em palavras: menos partículas conseguem tunelar, logo mais são refletidas.

Passo 7

Observações sobre hipóteses implícitas (para não nos enrolarmos): essa conclusão assume o caso padrão de espalhamento unidimensional, elástico, sem processos dissipativos ou canais adicionais de perda, e que apenas a altura \displaystyle V_{0} foi variada (a largura \displaystyle a mantida fixa). Essas são hipóteses típicas e razoáveis dada a formulação do enunciado. Com essas hipóteses, a conclusão é firme.

Resposta

b. A probabilidade aumentará.

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