A estrutura ACD é suportada por rótulas em A e D e por um cabo que passa por um anel em B e é preso aos ganchos em G e H. Sabendo que a estrutura rígida suporta uma carga concentrada no ponto C de 268 N , desenhe o DCL e determine: a) o vetor unitário \mathbf{n}_{\mathrm{BG}}; b) o vetor unitário \mathbf{n}_{\mathrm{BH}}; c) a tração no cabo.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede 3 coisas claras:
Informações fornecidas:
Há uma estrutura rígida A\!C\!D apoiada por rótulas (pinos) em A e D.
Há um cabo que passa por um anel em B e é preso aos ganchos em G e H.
A estrutura recebe uma carga concentrada em C de 268\\ \mathrm{N}.
Perguntas:
(a) determinar o vetor unitário \mathbf{n}_{\mathrm{BG}} (direção do segmento do anel B até o gancho G);
(b) determinar o vetor unitário \mathbf{n}_{\mathrm{BH}} (direção do segmento do anel B até o gancho H);
(c) determinar a tração no cabo (valor da força de tensão T que atua nos dois ramos B\!G e B\!H).
Observação: o enunciado menciona pontos e uma geometria (posição de A,B,C,D,G,H), mas você não enviou a figura nem as coordenadas/distâncias desses pontos. Sem essas informações geométricas específicas não é possível calcular numericamente os vetores unitários nem a tração. A resolução numérica exige as posições de B,G,H (para os vetores) e as posições relativas dos apoios e da carga (para as equações de equilíbrio).
Passo 2
Explico exatamente que informação geométrica é necessária e por que ela é imprescindível:
Para obter \mathbf{n}_{\mathrm{BG}} precisamos do vetor posição de G e de B, ou seja de suas coordenadas \mathbf{r}_G e \mathbf{r}_B. O vetor do segmento é\mathbf{BG}=\mathbf{r}_G-\mathbf{r}_B.Sem conhecer \mathbf{r}_G e \mathbf{r}_B não dá pra calcular \mathbf{BG} e, portanto, nem \mathbf{n}_{\mathrm{BG}}=\dfrac{\mathbf{BG}}{\|\mathbf{BG}\|}.
Mesma coisa para \mathbf{n}_{\mathrm{BH}}: é preciso \mathbf{r}_H e \mathbf{r}_B.
Para achar a tração T precisamos escrever as equações de equilíbrio da estrutura rígida (somatório de forças zero e somatório de momentos zero). Essas equações dependem das direções das forças aplicadas (reações em A e D, força do cabo em B — que é T\mathbf{n}_{\mathrm{BG}}+T\mathbf{n}_{\mathrm{BH}}=T(\mathbf{n}_{\mathrm{BG}}+\mathbf{n}_{\mathrm{BH}}) — e da carga em C). Para resolver numericamente é necessário conhecer as posições (ou pelo menos distâncias e direções) de A,B,C,D e as condições de contorno (por ex., se apoios são rótula em 3D com reações em 3 direções etc.).
Portanto: sem a figura (ou as coordenadas/distâncias angulares), não há como dar valores numéricos. Não vou inventar essas medidas.
Passo 3
Vou ensinar, passo a passo, o procedimento correto que você deve aplicar assim que tiver a figura ou as coordenadas. Assim na prova você consegue aplicar direto.
Como calcular um vetor unitário entre dois pontos (a parte mecânica simples que se aplica aqui):
Se as coordenadas de B forem \mathbf{r}_B=(x_B,y_B,z_B) e de G forem \mathbf{r}_G=(x_G,y_G,z_G), o vetor do segmento B\!G é\mathbf{BG}=\mathbf{r}_G-\mathbf{r}_B=(x_G-x_B,\;y_G-y_B,\;z_G-z_B).
O comprimento (norma) de \mathbf{BG} é\|\mathbf{BG}\|=\sqrt{(x_G-x_B)^2+(y_G-y_B)^2+(z_G-z_B)^2}.
O vetor unitário \mathbf{n}_{\mathrm{BG}} é\mathbf{n}_{\mathrm{BG}}=\frac{\mathbf{BG}}{\|\mathbf{BG}\|}.
Mesma receita para \mathbf{n}_{\mathrm{BH}} substituindo G por H.
Dica prática na prova: sempre escreva componente a componente e simplifique sinais; se números forem inteiros, calcule a raiz e simplifique radicalmente quando possível.
Como modelar a força do cabo no anel B:
O cabo tem a mesma tensão T em ambos os ramos B\!G e B\!H (assumindo cabo ideal sem atrito no anel). Portanto o anel em B exerce sobre a estrutura uma força resultante\mathbf{F}_B = T\mathbf{n}_{\mathrm{BG}} + T\mathbf{n}_{\mathrm{BH}} = T\bigl(\mathbf{n}_{\mathrm{BG}}+\mathbf{n}_{\mathrm{BH}}\bigr).
Esse \mathbf{F}_B é o que aparece no DCL (diagrama de corpo livre) da peça rígida A\!C\!D.
Como montar o Diagrama de Corpo Livre (DCL) e as equações de equilíbrio:
No DCL coloque:
Força concentrada em C: \mathbf{W}_C=(0, -268, 0)\\ \mathrm{N} se o peso está vertical para baixo (adapte o eixo vertical conforme a figura).
Reações em A e D: como são rótulas, cada uma pode ter até três componentes (em 3D) \mathbf{R}_A=(R_{Ax},R_{Ay},R_{Az}) e \mathbf{R}_D=(R_{Dx},R_{Dy},R_{Dz}). (Se o problema for 2D, cada rótula tem duas componentes).
Força do cabo em B: \mathbf{F}_B = T(\mathbf{n}_{\mathrm{BG}}+\mathbf{n}_{\mathrm{BH}}).
Escreva as equações de equilíbrio (vetorialmente):\sum \mathbf{F} = \mathbf{0} \quad\Rightarrow\quad \mathbf{R}_A+\mathbf{R}_D+\mathbf{F}_B+\mathbf{W}_C=\mathbf{0}.
\sum \mathbf{M}_{O} = \mathbf{0} \quad\text{(momentos em relação a um ponto \(O\), escolha conveniente, por ex. \(O=A\) ou \(O\) origem).}çã
Para eliminar incógnitas com mais eficiência, escolha pontos sobre os quais tomar momentos que reduzam o número de incógnitas (por exemplo tomar momento em A e em D pode eliminar as reações nesses pontos de algumas equações). A equação de momento típica é (com origem em O):\sum (\mathbf{r}\times \mathbf{F})=\mathbf{0},onde \mathbf{r} é o vetor posição do ponto de aplicação da força em relação a O.
Como isolar T nas equações:
Depois de substituir \mathbf{F}_B=T(\mathbf{n}_{\mathrm{BG}}+\mathbf{n}_{\mathrm{BH}}) nas equações de equilíbrio, você terá um sistema linear onde T aparece multiplicando vetores conhecidos (se \mathbf{n}_{\mathrm{BG}} e \mathbf{n}_{\mathrm{BH}} forem conhecidos).
Em geral, use as três equações escalares do somatório de momentos (ou uma combinação conveniente de momentos e forças) para resolver para T e as reações.
Exemplo de estratégia prática: tome momentos em relação a um ponto para eliminar reações cuja linha de ação passa por esse ponto; assim fica mais fácil isolar T.
Passo 4
Vou mostrar um exemplo didático e simples (hipotético) para você ver o cálculo na prática. Atenção: esse EXEMPLO é ilustrativo — números inventados para mostrar o passo a passo; não use esses valores como resposta do seu exercício a menos que sua figura coincida com eles.
Suponha hipoteticamente que \mathbf{r}_B=(1,0,0)\\ \mathrm{m}, \mathbf{r}_G=(3,2,0)\\ \mathrm{m} e \mathbf{r}_H=(3,-2,0)\\ \mathrm{m}.
A força resultante do cabo em B seria\mathbf{F}_B=T\bigl(\mathbf{n}_{\mathrm{BG}}+\mathbf{n}_{\mathrm{BH}}\bigr) =T\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}},\;\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}},\;0\right) =T\left(\frac{2}{\sqrt{2}},0,0\right)=T\sqrt{2}\,(1,0,0).Observação: nesse exemplo os componentes verticais se cancelaram, sobrando apenas componente em x; é um efeito da simetria escolhida.
Para achar T você escreveria as equações de equilíbrio (forças e momentos) usando as posições de C, A, D etc., e resolveria. O procedimento é o que expliquei no passo anterior.
Esse exemplo mostra como trocar coordenadas por componentes e como obter os vetores unitários. Na prova você faz exatamente isso com as coordenadas do seu enunciado.
Passo 5
Resumo do procedimento que você deve aplicar com a figura/valores do enunciado real (checklist para a prova — faz a fila das coisas a fazer, tipo receita de bolo):
Ler a figura e anotar coordenadas ou medir distâncias/ângulos: \mathbf{r}_A,\mathbf{r}_B,\mathbf{r}_C,\mathbf{r}_D,\mathbf{r}_G,\mathbf{r}_H.
Calcular \mathbf{BG}=\mathbf{r}_G-\mathbf{r}_B e \mathbf{BH}=\mathbf{r}_H-\mathbf{r}_B.
Calcular normas \|\mathbf{BG}\| e \|\mathbf{BH}\| e então\mathbf{n}_{\mathrm{BG}}=\frac{\mathbf{BG}}{\|\mathbf{BG}\|},\qquad \mathbf{n}_{\mathrm{BH}}=\frac{\mathbf{BH}}{\|\mathbf{BH}\|}.
Desenhar o DCL da peça rígida A\!C\!D: reações em A e D, carga em C (268\\ \mathrm{N}), e em B a força do cabo \mathbf{F}_B=T(\mathbf{n}_{\mathrm{BG}}+\mathbf{n}_{\mathrm{BH}}).
Escrever \sum \mathbf{F}=\mathbf{0} (3 equações escalares) e \sum \mathbf{M}_O=\mathbf{0} (3 equações escalares) — total 6 equações para resolver as incógnitas (componentes das reações e T).
Resolver o sistema (método algébrico, ou usar eliminação tomando momentos em pontos estratégicos para reduzir incógnitas) e isolar T. Substituir números e obter valor numérico.
Resposta
Não é possível determinar numericamente \mathbf{n}_{\mathrm{BG}}, \mathbf{n}_{\mathrm{BH}} nem a tração T porque a figura ou as coordenadas/distâncias dos pontos A,B,C,D,G,H não foram fornecidas.