Uma viga de madeira com dimensões de seção transversal de 200 mm x 300 mm é reforçada nas laterais por placas de aço de 12 mm de espessura. Os módulos de elasticidade para o aço e a madeira são E_{\text {Aço }}=190 \mathrm{GPa}ç e E_{\text {mad }}=11 \mathrm{GPa}, respectivamente. Além disso, as tensōes admissíveis correspondentes são: \sigma_{\text {aço }}=110 \mathrm{MPa}ç e \sigma_{\text {mad }}=7.5 \mathrm{MPa}.
Calcule o momento fletor máximo permitido Mmax quando a viga é flexionada em torno do eixo z.

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que o problema pede e o que foi dado):
  • Temos uma viga composta por um núcleo de madeira de seção retangular com dimensões 200\\ \mathrm{mm}\times 300\\ \mathrm{mm}. Vou assumir que 200\\ \mathrm{mm} é a largura (horizontal) e 300\\ \mathrm{mm} é a altura (vertical).
  • A viga é reforçada nas laterais por duas placas de aço, cada uma com espessura 12\\ \mathrm{mm} e altura igual à altura da viga (ou seja, 300\\ \mathrm{mm}). As placas ficam uma de cada lado da largura da madeira (laterais verticais).
  • Módulos de elasticidade: E_{\text{aço}} = 190\\ \mathrm{GPa},\qquad E_{\text{mad}} = 11\\ \mathrm{GPa}.çVou trabalhar em unidades \mathrm{MPa} e \mathrm{mm}, lembrando que 1\\ \mathrm{GPa}=1000\\ \mathrm{MPa}.
  • Tensões admissíveis (limites de projeto): \sigma_{\text{aço}} = 110\\ \mathrm{MPa},\qquad \sigma_{\text{mad}} = 7{,}5\\ \mathrm{MPa}.ç
  • O que se pede: calcular o momento fletor máximo permitido M_{\max} quando a viga é flexionada em torno do eixo z. Ou seja, encontrar o maior momento M tal que as tensões no aço e na madeira não excedam seus respectivos limites admissíveis.
  • Observações/assunções feitas (sem perguntar mais): seção simétrica em relação ao eixo neutro horizontal (centro geométrico no meio da altura), as chapas de aço têm altura igual à da madeira e estão centradas verticalmente (portanto não deslocam o centroide em y), e o momento fletor produz a distribuição linear usual de deformações (caso de flexão pura).

Passo 2

Escolha do método de resolução (explicando por que): método da rigidez composta (flexão composta com módulos diferentes).
  • Quando a seção é composta por materiais diferentes (aço e madeira), a curvatura \kappa imposta pela flexão é a mesma para todos os materiais, e a tensão em cada fibra é \sigma(y)=E(y)\,\kappa\,y, onde y é a distância vertical ao eixo neutro e E(y) é o módulo do material naquela fibra.
  • O momento interno resultante é M = \int E(y)\,\kappa\,y^2\,dA = \kappa\int E(y)\,y^2\,dA.Definimos a rigidez à flexão equivalente (EI)_{\text{eq}} = \int E(y)\,y^2\,dA,de modo que \kappa = M/(EI)_{\text{eq}}.
  • Assim a tensão máxima em um material qualquer no topo (a y=y_{\max}) será \sigma_{\text{mat}} = E_{\text{mat}}\;y_{\max}\;\frac{M}{(EI)_{\text{eq}}}.
  • Deste modo, para cada material podemos isolar M admissível: M_{\text{adm,mat}} = \sigma_{\text{adm,mat}}\;\frac{(EI)_{\text{eq}}}{E_{\text{mat}}\,y_{\max}}.
  • O M_{\max} global é o mínimo entre os M_{\text{adm,mat}} (pois ambos os materiais devem respeitar seus limites).

Passo 3

Determinar as constantes geométricas da seção (áreas e momentos de inércia das partes) — explicando as fórmulas usadas.
  • Para um retângulo de base b e altura h com o eixo neutro no centro, o momento de inércia em relação ao eixo horizontal central é I = \frac{b\,h^{3}}{12}.Aqui vamos usar essa fórmula para a madeira (retângulo 200\times300) e para cada placa de aço (retângulo 12\times300). As placas são centradas verticalmente, então não é necessário aplicar o teorema dos eixos paralelos em y.
  • Valores geométricos: b_{\text{mad}}=200\\ \mathrm{mm},\quad h=300\\ \mathrm{mm},\quad t_{\text{aço}}=12\\ \mathrm{mm}.ç

Passo 4

Calcular os momentos de inércia geométricos (apenas geométricos, sem E).
  • Madeira: I_{\text{mad}}=\frac{b_{\text{mad}}\,h^{3}}{12} =\frac{200\cdot 300^{3}}{12}.Calculemos passo a passo: 300^{3}=27\,000\,000,
200\cdot 27\,000\,000 = 5\,400\,000\,000,
I_{\text{mad}}=\frac{5\,400\,000\,000}{12}=450\,000\,000\\ \mathrm{mm^{4}}.
  • Cada placa de aço (uma placa): I_{\text{placa}}=\frac{t_{\text{aço}}\,h^{3}}{12} =\frac{12\cdot 300^{3}}{12} = 27\,000\,000\\ \mathrm{mm^{4}}.çDuas placas juntas: I_{\text{aço,geom}}=2\cdot I_{\text{placa}}=54\,000\,000\\ \mathrm{mm^{4}}.ç

Passo 5

Calcular a rigidez à flexão equivalente (EI)_{\text{eq}}=\sum E_i I_i.
  • Converter os módulos para \mathrm{MPa} (que equivale a \mathrm{N/mm^{2}}): E_{\text{mad}} = 11\\ \mathrm{GPa}=11\,000\\ \mathrm{MPa},
E_{\text{aço}} = 190\\ \mathrm{GPa}=190\,000\\ \mathrm{MPa}.ç
  • Agora (EI)_{\text{eq}} = E_{\text{mad}}\,I_{\text{mad}} + E_{\text{aço}}\,I_{\text{aço,geom}}.ççSubstituindo os números: E_{\text{mad}}\,I_{\text{mad}} = 11\,000\cdot 450\,000\,000 = 4{,}95\times 10^{12}\\ \mathrm{N\cdot mm^{2}},
E_{\text{aço}}\,I_{\text{aço,geom}} = 190\,000\cdot 54\,000\,000 = 1{,}026\times 10^{13}\\ \mathrm{N\cdot mm^{2}}.çç
Portanto
(EI)_{\text{eq}} = 4{,}95\times 10^{12} + 1{,}026\times 10^{13} = 1{,}521\times 10^{13}\\ \mathrm{N\cdot mm^{2}}.

Passo 6

Determinar a posição da fibra extrema y_{\max} e relembrar a fórmula da tensão máxima.
  • A seção tem altura h=300\\ \mathrm{mm} e eixo neutro no centro, portanto a distância até a fibra extrema (topo ou fundo) é y_{\max}=\frac{h}{2}=150\\ \mathrm{mm}.
  • Fórmula já apresentada: para cada material \sigma_{\text{mat}} = E_{\text{mat}}\;y_{\max}\;\frac{M}{(EI)_{\text{eq}}}.Invertendo para M: M_{\text{adm,mat}} = \sigma_{\text{adm,mat}}\;\frac{(EI)_{\text{eq}}}{E_{\text{mat}}\,y_{\max}}.

Passo 7

Calcular M_{\text{adm}} imposto pelo limite da madeira.
  • Usando \sigma_{\text{mad}}=7{,}5\\ \mathrm{MPa}, M_{\text{adm,mad}} = 7{,}5\cdot\frac{1{,}521\times 10^{13}}{11\,000\cdot 150}.Compute o denominador: 11\,000\cdot 150 = 1{,}650{,}000.Numerador: 7{,}5\cdot 1{,}521\times 10^{13} = 1{,}14075\times 10^{14}.Assim M_{\text{adm,mad}} = \frac{1{,}14075\times 10^{14}}{1{,}650{,}000} \approx 6{,}9136\times 10^{7}\\ \mathrm{N\cdot mm}.Convertendo para \mathrm{kN\cdot m} (lembrando 1\\ \mathrm{N\cdot mm}=10^{-6}\\ \mathrm{kN\cdot m}): M_{\text{adm,mad}}\approx 69{,}14\\ \mathrm{kN\cdot m}.

Passo 8

Calcular M_{\text{adm}} imposto pelo limite do aço.
  • Usando \sigma_{\text{aço}}=110\\ \mathrm{MPa}ç, M_{\text{adm,aço}} = 110\cdot\frac{1{,}521\times 10^{13}}{190\,000\cdot 150}.çDenominador: 190\,000\cdot 150 = 28{,}500{,}000.Numerador: 110\cdot 1{,}521\times 10^{13} = 1{,}6731\times 10^{15}.Assim M_{\text{adm,aço}} = \frac{1{,}6731\times 10^{15}}{28{,}500{,}000} \approx 5{,}873\times 10^{7}\\ \mathrm{N\cdot mm}.çConvertendo: M_{\text{adm,aço}}\approx 58{,}73\\ \mathrm{kN\cdot m}.ç

Passo 9

Escolher o M_{\max} final e interpretar — incentivo rapidinho.
  • Temos M_{\text{adm,mad}}\approx 69{,}14\\ \mathrm{kN\cdot m} e M_{\text{adm,aço}}\approx 58{,}73\\ \mathrm{kN\cdot m}ç.
  • O máximo momento admissível para a viga composta é o menor desses (pois ambos os materiais devem respeitar seus limites). Portanto: M_{\max} = M_{\text{adm,aço}} \approx 58{,}73\\ \mathrm{kN\cdot m}.ç
  • Comentário rápido e encorajador: apesar de o aço ser muito resistente, seu módulo alto faz com que ele pegue grande parte da tensão quando há curvatura — por isso aqui o aço controla o momento máximo. Bom trabalho até aqui — dava para pensar que a madeira controlaria, mas este detalhe do E é chave!

Resposta

M_{\max}\approx 58{,}7\\ \mathrm{kN\cdot m}

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