Uma viga de madeira com dimensões de seção transversal de 200 mm x 300 mm é reforçada nas laterais por placas de aço de 12 mm de espessura. Os módulos de elasticidade para o aço e a madeira são
e
, respectivamente. Além disso, as tensōes admissíveis correspondentes são:
e
.
Calcule o momento fletor máximo permitido Mmax quando a viga é flexionada em torno do eixo z.
Calcule o momento fletor máximo permitido Mmax quando a viga é flexionada em torno do eixo z.
Passo 1
Enunciado e dados importantes (o que o problema pede e o que foi dado):
- Temos uma viga composta por um núcleo de madeira de seção retangular com dimensões
. Vou assumir que é a largura (horizontal) e é a altura (vertical). - A viga é reforçada nas laterais por duas placas de aço, cada uma com espessura
e altura igual à altura da viga (ou seja, ). As placas ficam uma de cada lado da largura da madeira (laterais verticais). - Módulos de elasticidade:
Vou trabalhar em unidades e , lembrando que . - Tensões admissíveis (limites de projeto):
- O que se pede: calcular o momento fletor máximo permitido
quando a viga é flexionada em torno do eixo . Ou seja, encontrar o maior momento tal que as tensões no aço e na madeira não excedam seus respectivos limites admissíveis. - Observações/assunções feitas (sem perguntar mais): seção simétrica em relação ao eixo neutro horizontal (centro geométrico no meio da altura), as chapas de aço têm altura igual à da madeira e estão centradas verticalmente (portanto não deslocam o centroide em
), e o momento fletor produz a distribuição linear usual de deformações (caso de flexão pura).
Passo 2
Escolha do método de resolução (explicando por que): método da rigidez composta (flexão composta com módulos diferentes).
- Quando a seção é composta por materiais diferentes (aço e madeira), a curvatura
imposta pela flexão é a mesma para todos os materiais, e a tensão em cada fibra é , onde é a distância vertical ao eixo neutro e é o módulo do material naquela fibra. - O momento interno resultante é
Definimos a rigidez à flexão equivalente de modo que . - Assim a tensão máxima em um material qualquer no topo (a
) será - Deste modo, para cada material podemos isolar
admissível: - O
global é o mínimo entre os (pois ambos os materiais devem respeitar seus limites).
Passo 3
Determinar as constantes geométricas da seção (áreas e momentos de inércia das partes) — explicando as fórmulas usadas.
- Para um retângulo de base
e altura com o eixo neutro no centro, o momento de inércia em relação ao eixo horizontal central é Aqui vamos usar essa fórmula para a madeira (retângulo ) e para cada placa de aço (retângulo ). As placas são centradas verticalmente, então não é necessário aplicar o teorema dos eixos paralelos em . - Valores geométricos:
Passo 4
Calcular os momentos de inércia geométricos (apenas geométricos, sem
).
- Madeira:
Calculemos passo a passo:
- Cada placa de aço (uma placa):
Duas placas juntas:
Passo 5
Calcular a rigidez à flexão equivalente
.
- Converter os módulos para
(que equivale a ):
- Agora
Substituindo os números:
Portanto
Passo 6
Determinar a posição da fibra extrema
e relembrar a fórmula da tensão máxima.
- A seção tem altura
e eixo neutro no centro, portanto a distância até a fibra extrema (topo ou fundo) é - Fórmula já apresentada: para cada material
Invertendo para :
Passo 7
Calcular
imposto pelo limite da madeira.
- Usando
, Compute o denominador: Numerador: Assim Convertendo para (lembrando ):
Passo 8
Calcular
imposto pelo limite do aço.
- Usando
, Denominador: Numerador: Assim Convertendo:
Passo 9
Escolher o
final e interpretar — incentivo rapidinho.
- Temos
e . - O máximo momento admissível para a viga composta é o menor desses (pois ambos os materiais devem respeitar seus limites). Portanto:
- Comentário rápido e encorajador: apesar de o aço ser muito resistente, seu módulo alto faz com que ele pegue grande parte da tensão quando há curvatura — por isso aqui o aço controla o momento máximo. Bom trabalho até aqui — dava para pensar que a madeira controlaria, mas este detalhe do
é chave!