Um pinhão cilíndrico de dentes retos com 20 dentes, ângulo de pressão de 20 graus, roda a 1800 rpm e transmite 3 kW a uma engrenagem de disco de 60 dentes. O módulo normal é 4 mm , com padrão de qualidade 6. As engrenagens são montadas entre mancais imediatamente adjacentes. O pinhão é feito de aço Grau 1 com dureza superficial de 240 Brinell e núcleo totalmente endurecido.
A coroa é de aço Grau 1, também endurecida por completo, com dureza Brinell de 200 para ambos, superfície e núcleo. O coeficiente de Poisson vale 0,3 , os fatores geométricos para flexão valem Y_JP=0,3 e Y_JG=0,4 e o módulo de Young vale 207 GPa . Assuma uma vida para o pinhão de
ciclos e confiabilidade de 0,90.
Utilize
e
. O perfil do dente é sem coroamento. Considerar engrenagem de tamanho normal e medida de arco sem impacto no dimensionamento. Trata-se de uma unidade redutora de engrenagem comercial fechada. Calcular conforme a AGMA - 2101-D04 Shigley.
Considerar a largura da engrenagem com valor mínimo segundo a AGMA - 2101-D04
- Considerar os fatores para transmissão: vP
;
.
(a) Encontre a tensão de flexão na coroa e pinhão.
(a) Encontre a tensão de flexão na coroa e pinhão.
Passo 1
O enunciado pede para calcular as tensões de flexão (bending stresses) no pinhão e na coroa de uma parelha de engrenagens reta, usando a metodologia AGMA-2101-D04 (Shigley). Dados relevantes fornecidos pelo enunciado (lista completa e organizada):
- Pinhão: número de dentes
. - Coroa: número de dentes
. - Ângulo de pressão:
. - Rotação do pinhão:
. - Potência transmitida:
. - Módulo normal:
. - Padrão de qualidade (quality) = 6 (informação dada).
- Pinhão: aço Grau 1, dureza superficial 240 HB, núcleo totalmente endurecido.
- Coroa: aço Grau 1, dureza 200 HB, totalmente endurecida.
- Poisson
. - Fatores geométricos para flexão (bending geometry):
(pinhão) e (coroa). - Módulo de Young:
. - Vida do pinhão:
ciclos; confiabilidade . - Funções de vida/fiabilidade:
e . - Perfil sem coroamento; engrenagem de tamanho normal; medida de arco sem impacto.
- Unidade comercial fechada.
- Valores/fatores fornecidos para uso:
O que se pede na prática neste item (a): calcular a tensão de flexão no pinhão e na coroa, isto é, a tensão de flexão que atua na raiz do dente devido à força tangencial transmitida, conforme a formulação AGMA.
Passo 2
Primeiro vamos transformar os dados geométricos e obter o esforço tangencial atuante
. Conceitos e fórmulas básicas:
- Torque no eixo do pinhão
é dado por , onde é a velocidade angular em rad/s. Para rotações em rpm, . - Força tangencial na circunferência de passo (pitch)
é , porque . - Diâmetro de passo do pinhão
(módulo em mm e dentes sem correção).
Vamos calcular passo a passo.
Cálculo de
:
Cálculo do torque
:
Diâmetro de passo do pinhão (usar módulo em metros ou mm coerentemente; manter mm internamente porque resultados de tensão ficam em N/mm² = MPa):
Força tangencial na linha de ação (em N):
Converter
para N·mm ou manter metros; aqui usamos metros, então:
Resumo calculado:
Passo 3
Agora a fórmula AGMA para tensão de flexão (esforço de flexão no flanco do dente) no formato usual é:
onde:
-
é a tensão de flexão (N/mm² = MPa). -
é a força tangencial (N) calculada no passo anterior. -
é o fator de sobrecarga (overload factor). Aqui (fornecido). -
é o fator dinâmico ou de velocidade (velocity/dynamic factor) — representa efeitos dinâmicos e qualidade de manufatura. -
é o fator de tamanho (size factor) para flexão; se não informado e para peças pequenas normalmente . -
é o fator de distribuição de carga (load distribution factor) — trata de desalinhamentos, flexão dos eixos, montagem. Deve ser estimado conforme condições de montagem e correções. -
é a largura de face (face width, mm). -
é o módulo normal (mm). -
é o fator geométrico de flexão (aqui dado: para o pinhão e para a coroa).
A unidade resultante:
em N,
e
em mm →
em N/mm² (MPa).
Nosso plano: calcular
a partir dos parâmetros fornecidos, adotar valores coerentes e justificar a escolha para
,
e
, e então aplicar a fórmula separadamente para pinhão (usar
) e coroa (usar
).
Passo 4
Cálculo do fator dinâmico
. O enunciado fornece constantes que são tipicamente usadas numa expressão empírica para
. Uma formulação adequada e comum (em forma simplificada usada em livros/AGMA) é:
onde
é a velocidade de linha de passo (pitch line velocity) em
sob o radical, mas aqui usamos
em
dentro do
(esta forma é consistente com as constantes fornecidas). Os valores fornecidos são
e
.
Primeiro calculemos a velocidade de linha de passo
(pitch line velocity) em
:
Fórmula:
Substituindo:
Agora aplicamos a fórmula de
:
Interpretação: o fator dinâmico é pequeno (cerca de 3,7% de acréscimo), razoável para esta velocidade e qualidade de fabricação.
Passo 5
Determinação da largura de face
(valor mínimo segundo AGMA-2101-D04) e dos demais fatores
e
. Explicação didática e escolhas:
- A norma AGMA recomenda larguras de face expressas em múltiplos do módulo
. Para engrenagens de tamanho normal e aplicações comerciais fechadas, um valor prático e comumente adotado como mínimo é . (Nota: dependendo do trecho da norma esse mínimo varia com número de dentes e aplicação; aqui usamos o valor mínimo típico para engrenagens comerciais fechadas e “tamanho normal”.) - Assim adotamos:
- Fator de tamanho
: para dente pequeno e materiais considerados, e sem indicação contrária, toma-se (nenhuma correção de tamanho adicional). - Fator de distribuição de carga
: esse fator depende de fabricação, montagem, rigidez dos suportes e presença de coroamento. O enunciado diz “montadas entre mancais imediatamente adjacentes” e “perfil sem coroamento”. Engrenagens sem coroamento e montadas entre mancais costumam ter certa má distribuição, mas por serem unidades comerciais fechadas, adota-se um valor moderado. AGMA fornece tabelas; valores típicos variam entre 1,1 e 1,4. Para ser conservador e representativo, adotaremos:
(Justificativa: escolhido como valor intermediário representando pequenas imperfeições de montagem e ausência de coroamento; se se dispuser de medidas mais precisas de desvio de paralelismo/rigidez, deve-se usar a fórmula detalhada da AGMA.)
Recapitulando fatores usados:
Passo 6
Agora aplicamos a fórmula de tensão de flexão separadamente para pinhão e coroa.
Expressão geral que usamos:
Dados numéricos recapitulados (unidades mm e N, tensão em N/mm² = MPa):
Produto dos fatores multiplicativos:
Compute para o pinhão (usar
):
Numerador:
Denominador:
Logo:
Agora para a coroa (usar
):
Denominador:
Logo:
Passo 7
Interpretação didática dos resultados e observações finais:
- As tensões de flexão obtidas são relativamente baixas (em torno de
a ). Isso ocorre porque a força tangencial é pequena nesta potência/velocidade combinada e a largura adotada é relativamente grande em relação ao módulo , além dos fatores geométricos indicarem boa resistência geométrica. - Essas tensões são as tensões aplicadas (esforço de projeto). Para verificar a segurança frente à fadiga de flexão, a AGMA prescribe comparar essa tensão com a resistência à flexão (endurance bending strength) do material, incluindo fatores de vida e confiabilidade
e fatores de segurança e fatores de superfície. Essa verificação não foi pedida no item (a), mas é o próximo passo habitual do dimensionamento AGMA. - Observação sobre as aproximações: adotei
como largura mínima típica e como fator de distribuição moderado. Se você quiser, eu posso recalcular com outro valor de (por exemplo ou ) ou com obtido pela fórmula completa da AGMA usando os parâmetros de fabricação e montagem — basta pedir que eu refaça as contas com essas opções.
Resposta
Tensão de flexão no pinhão:
.
Tensão de flexão na coroa:
.