Um pinhão cilíndrico de dentes retos com 20 dentes, ângulo de pressão de 20 graus, roda a 1800 rpm e transmite 3 kW a uma engrenagem de disco de 60 dentes. O módulo normal é 4 mm , com padrão de qualidade 6. As engrenagens são montadas entre mancais imediatamente adjacentes. O pinhão é feito de aço Grau 1 com dureza superficial de 240 Brinell e núcleo totalmente endurecido.
A coroa é de aço Grau 1, também endurecida por completo, com dureza Brinell de 200 para ambos, superfície e núcleo. O coeficiente de Poisson vale 0,3 , os fatores geométricos para flexão valem Y_JP=0,3 e Y_JG=0,4 e o módulo de Young vale 207 GPa . Assuma uma vida para o pinhão de 10^{8} ciclos e confiabilidade de 0,90.
Utilize \mathrm{Y} \_\mathrm{N}=1,3558 \mathrm{~N}^{-0,0178} e \mathrm{Z} \_\mathrm{N}=1,4488 \mathrm{~N}^{-0,023}. O perfil do dente é sem coroamento. Considerar engrenagem de tamanho normal e medida de arco sem impacto no dimensionamento. Trata-se de uma unidade redutora de engrenagem comercial fechada. Calcular conforme a AGMA - 2101-D04 Shigley.
Considerar a largura da engrenagem com valor mínimo segundo a AGMA - 2101-D04
  • Considerar os fatores para transmissão: vP =0,3 ; \mathrm{EP}=207 \mathrm{GPa} ; \mathrm{vG}=0,3 ; \mathrm{EG}=207 \mathrm{GPa} ; \mathrm{Ko}=1; C mc=1 ; C pm=1 ; A=59,77 ; B=0,8255 ; C e=1 ; C m a=0,1504 ; Y \theta=1 ; Y Z=0,85 ; Z R=1 ; m N=1.
    (a) Encontre a tensão de flexão na coroa e pinhão.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as tensões de flexão (bending stresses) no pinhão e na coroa de uma parelha de engrenagens reta, usando a metodologia AGMA-2101-D04 (Shigley). Dados relevantes fornecidos pelo enunciado (lista completa e organizada):
  • Pinhão: número de dentes \;z_1=20.
  • Coroa: número de dentes \;z_2=60.
  • Ângulo de pressão: \;20^\circ.
  • Rotação do pinhão: \;n_1=1800\\ \text{rpm}.
  • Potência transmitida: \;P=3\\ \text{kW}=3000\\ \text{W}.
  • Módulo normal: \;m_n=4\\ \text{mm}.
  • Padrão de qualidade (quality) = 6 (informação dada).
  • Pinhão: aço Grau 1, dureza superficial 240 HB, núcleo totalmente endurecido.
  • Coroa: aço Grau 1, dureza 200 HB, totalmente endurecida.
  • Poisson \nu = 0{,}3.
  • Fatores geométricos para flexão (bending geometry): \;Y_{JP}=0{,}3 (pinhão) e \;Y_{JG}=0{,}4 (coroa).
  • Módulo de Young: \;E=207\\ \text{GPa}.
  • Vida do pinhão: 10^{8} ciclos; confiabilidade 0{,}90.
  • Funções de vida/fiabilidade: \;Y_N = 1{,}3558\,N^{-0,0178} e \;Z_N = 1{,}4488\,N^{-0,023}.
  • Perfil sem coroamento; engrenagem de tamanho normal; medida de arco sem impacto.
  • Unidade comercial fechada.
  • Valores/fatores fornecidos para uso: \;v_P=0{,}3;\;E_P=207\\ \text{GPa};\;v_G=0{,}3;\;E_G=207\\ \text{GPa};\;K_o=1;\;C_{mc}=1;\;C_{pm}=1;\;A=59{,}77;\;B=0{,}8255;\;C_e=1;\;C_{ma}=0{,}1504;\;Y_\theta=1;\;Y_Z=0{,}85;\;Z_R=1;\;m_N=1.
O que se pede na prática neste item (a): calcular a tensão de flexão no pinhão e na coroa, isto é, a tensão de flexão que atua na raiz do dente devido à força tangencial transmitida, conforme a formulação AGMA.

Passo 2

Primeiro vamos transformar os dados geométricos e obter o esforço tangencial atuante W_t. Conceitos e fórmulas básicas:
  • Torque no eixo do pinhão \;T é dado por \;T = \dfrac{P}{\omega}, onde \omega é a velocidade angular em rad/s. Para rotações em rpm, \;\omega = 2\pi \dfrac{n}{60}.
  • Força tangencial na circunferência de passo (pitch) \;W_t é \;W_t = \dfrac{2T}{d}, porque T = F_t \cdot \dfrac{d}{2}.
  • Diâmetro de passo do pinhão \;d_1 = m \, z_1 (módulo em mm e dentes sem correção).
Vamos calcular passo a passo.
Cálculo de \omega:
\omega = 2\pi \frac{n_1}{60} = 2\pi\frac{1800}{60} = 2\pi\cdot 30 = 60\pi\\ \text{rad/s}.
Cálculo do torque \;T:
T = \frac{P}{\omega} = \frac{3000\\ \text{W}}{60\pi\\ \text{rad/s}} = \frac{3000}{60\pi}\\ \text{N}\cdot\text{m} = \frac{50}{\pi}\\ \text{N}\cdot\text{m}\approx 15{,}9155\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Diâmetro de passo do pinhão (usar módulo em metros ou mm coerentemente; manter mm internamente porque resultados de tensão ficam em N/mm² = MPa):
d_1 = m_n\, z_1 = 4\\ \text{mm} \cdot 20 = 80\\ \text{mm} = 0{,}08\\ \text{m}.
Força tangencial na linha de ação (em N):
W_t = \frac{2T}{d_1} = \frac{2\cdot 15{,}91549431\\ \text{N}\cdot\text{m}}{0{,}08\\ \text{m}}.
Converter T para N·mm ou manter metros; aqui usamos metros, então:
W_t = \frac{31{,}83098862}{0{,}08} \approx 397{,}887358\\ \text{N}.
Resumo calculado: \;W_t \approx 397{,}887\\ \text{N}.

Passo 3

Agora a fórmula AGMA para tensão de flexão (esforço de flexão no flanco do dente) no formato usual é:
\sigma_F \;=\; \frac{W_t\,K_o\,K_v\,K_s\,K_m}{b\,m_n\,Y_J}
onde:
  • \sigma_F é a tensão de flexão (N/mm² = MPa).
  • W_t é a força tangencial (N) calculada no passo anterior.
  • K_o é o fator de sobrecarga (overload factor). Aqui \;K_o=1 (fornecido).
  • K_v é o fator dinâmico ou de velocidade (velocity/dynamic factor) — representa efeitos dinâmicos e qualidade de manufatura.
  • K_s é o fator de tamanho (size factor) para flexão; se não informado e para peças pequenas normalmente \;K_s\approx1.
  • K_m é o fator de distribuição de carga (load distribution factor) — trata de desalinhamentos, flexão dos eixos, montagem. Deve ser estimado conforme condições de montagem e correções.
  • b é a largura de face (face width, mm).
  • m_n é o módulo normal (mm).
  • Y_J é o fator geométrico de flexão (aqui dado: \;Y_{JP}=0{,}3 para o pinhão e \;Y_{JG}=0{,}4 para a coroa).
A unidade resultante: W_t em N, b e m_n em mm → \sigma_F em N/mm² (MPa).
Nosso plano: calcular K_v a partir dos parâmetros fornecidos, adotar valores coerentes e justificar a escolha para b, K_s e K_m, e então aplicar a fórmula separadamente para pinhão (usar Y_{JP}) e coroa (usar Y_{JG}).

Passo 4

Cálculo do fator dinâmico K_v. O enunciado fornece constantes que são tipicamente usadas numa expressão empírica para K_v. Uma formulação adequada e comum (em forma simplificada usada em livros/AGMA) é:
K_v \;=\; \left(\frac{A + \sqrt{V}}{A}\right)^{B}
onde V é a velocidade de linha de passo (pitch line velocity) em \text{m}^2/\text{s}^2 sob o radical, mas aqui usamos V em \text{m/s} dentro do \sqrt{\cdot} (esta forma é consistente com as constantes fornecidas). Os valores fornecidos são A=59{,}77 e B=0{,}8255.
Primeiro calculemos a velocidade de linha de passo v (pitch line velocity) em \text{m/s}:
Fórmula:
v = \pi\, d_1\, \frac{n_1}{60}.
Substituindo:
v = \pi\cdot 0{,}08\\ \text{m}\cdot \frac{1800}{60} = \pi\cdot 0{,}08\cdot 30 = \pi\cdot 2{,}4 \approx 7{,}5398\\ \text{m/s}.
Agora aplicamos a fórmula de K_v:
\sqrt{v} = \sqrt{7{,}5398} \approx 2{,}7468.
\frac{A + \sqrt{v}}{A} = \frac{59{,}77 + 2{,}7468}{59{,}77} \approx 1{,}04593.
K_v = (1{,}04593)^{0{,}8255} \approx 1{,}0367.
Interpretação: o fator dinâmico é pequeno (cerca de 3,7% de acréscimo), razoável para esta velocidade e qualidade de fabricação.

Passo 5

Determinação da largura de face b (valor mínimo segundo AGMA-2101-D04) e dos demais fatores K_s e K_m. Explicação didática e escolhas:
  • A norma AGMA recomenda larguras de face expressas em múltiplos do módulo m. Para engrenagens de tamanho normal e aplicações comerciais fechadas, um valor prático e comumente adotado como mínimo é b_{\min}=10\,m. (Nota: dependendo do trecho da norma esse mínimo varia com número de dentes e aplicação; aqui usamos o valor mínimo típico para engrenagens comerciais fechadas e “tamanho normal”.)
  • Assim adotamos:
b = 10\,m_n = 10\cdot 4\\ \text{mm} = 40\\ \text{mm}.
  • Fator de tamanho K_s: para dente pequeno e materiais considerados, e sem indicação contrária, toma-se K_s=1 (nenhuma correção de tamanho adicional).
  • Fator de distribuição de carga K_m: esse fator depende de fabricação, montagem, rigidez dos suportes e presença de coroamento. O enunciado diz “montadas entre mancais imediatamente adjacentes” e “perfil sem coroamento”. Engrenagens sem coroamento e montadas entre mancais costumam ter certa má distribuição, mas por serem unidades comerciais fechadas, adota-se um valor moderado. AGMA fornece tabelas; valores típicos variam entre 1,1 e 1,4. Para ser conservador e representativo, adotaremos:
K_m = 1{,}25.
(Justificativa: escolhido como valor intermediário representando pequenas imperfeições de montagem e ausência de coroamento; se se dispuser de medidas mais precisas de desvio de paralelismo/rigidez, deve-se usar a fórmula detalhada da AGMA.)
Recapitulando fatores usados:
K_o = 1,\quad K_v \approx 1{,}0367,\quad K_s = 1,\quad K_m = 1{,}25.

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula de tensão de flexão separadamente para pinhão e coroa.
Expressão geral que usamos:
\sigma_F = \frac{W_t\,K_o\,K_v\,K_s\,K_m}{b\,m_n\,Y_J}.
Dados numéricos recapitulados (unidades mm e N, tensão em N/mm² = MPa):
W_t \approx 397{,}887\\ \text{N},\quad b = 40\\ \text{mm},\quad m_n = 4\\ \text{mm},
K_o =1,\;K_v=1{,}0367,\;K_s=1,\;K_m=1{,}25.
Produto dos fatores multiplicativos:
K_{\text{total}} = K_o K_v K_s K_m = 1 \cdot 1{,}0367 \cdot 1 \cdot 1{,}25 \approx 1{,}2959.
Compute para o pinhão (usar Y_{JP}=0{,}3):
Numerador:
W_t\,K_{\text{total}} \approx 397{,}887\cdot 1{,}2959 \approx 515{,}797\\ \text{N}.
Denominador:
b\,m_n\,Y_{JP} = 40\cdot 4 \cdot 0{,}3 = 160\cdot 0{,}3 = 48\\ \text{mm}^2.
Logo:
\sigma_{F,pinhão} = \frac{515{,}797}{48}\\ \text{N/mm}^2 \approx 10{,}7466\\ \text{MPa}.ã
Agora para a coroa (usar Y_{JG}=0{,}4):
Denominador:
b\,m_n\,Y_{JG} = 40\cdot 4 \cdot 0{,}4 = 160\cdot 0{,}4 = 64\\ \text{mm}^2.
Logo:
\sigma_{F,coroa} = \frac{515{,}797}{64}\\ \text{N/mm}^2 \approx 8{,}0593\\ \text{MPa}.

Passo 7

Interpretação didática dos resultados e observações finais:
  • As tensões de flexão obtidas são relativamente baixas (em torno de 8 a 11\\ \text{MPa}). Isso ocorre porque a força tangencial W_t é pequena nesta potência/velocidade combinada e a largura adotada b=40\\ \text{mm} é relativamente grande em relação ao módulo m=4\\ \text{mm}, além dos fatores geométricos Y_J indicarem boa resistência geométrica.
  • Essas tensões são as tensões aplicadas (esforço de projeto). Para verificar a segurança frente à fadiga de flexão, a AGMA prescribe comparar essa tensão com a resistência à flexão (endurance bending strength) do material, incluindo fatores de vida e confiabilidade Y_N, Z_N e fatores de segurança e fatores de superfície. Essa verificação não foi pedida no item (a), mas é o próximo passo habitual do dimensionamento AGMA.
  • Observação sobre as aproximações: adotei b=10\,m como largura mínima típica e K_m=1{,}25 como fator de distribuição moderado. Se você quiser, eu posso recalcular com outro valor de b (por exemplo b=8m ou b=12m) ou com K_m obtido pela fórmula completa da AGMA usando os parâmetros de fabricação e montagem — basta pedir que eu refaça as contas com essas opções.

Resposta

Tensão de flexão no pinhão: 10{,}75\\ \text{MPa}.
Tensão de flexão na coroa: 8{,}06\\ \text{MPa}.

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