Se \underset{\sim}{A}=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right], calcule \underset{\sim}{A^{2}} e \underset{\sim}{A^{3}}.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz \tilde{A} abaixo e pede para calcular \tilde{A}^2 e \tilde{A}^3. O conteúdo envolvido é multiplicação de matrizes e a observação de que todas as linhas (e colunas) de \tilde{A} são iguais.
\tilde{A} = \begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix}

Passo 2

Para calcular \tilde{A}^2 usamos a definição de produto de matrizes. Cada entrada (i,j) de \tilde{A}^2 é a soma do produto da i-ésima linha de \tilde{A} pela j-ésima coluna de \tilde{A}. Por exemplo, a entrada (1,1) é
1\cdot1 + 1\cdot1 = 2,
e o mesmo valor ocorre em todas as posições, pois todas as linhas e colunas de \tilde{A} são idênticas. Logo,
\tilde{A}^2 = \begin{pmatrix}2 & 2 \\\\ 2 & 2\end{pmatrix}.

Passo 3

Para obter \tilde{A}^3 fazemos \tilde{A}^2\cdot\tilde{A}. Novamente, cada entrada será
2\cdot1 + 2\cdot1 = 4,
repetido em todas as posições. Assim,
\tilde{A}^3 = \begin{pmatrix}4 & 4 \\\\ 4 & 4\end{pmatrix}.

Resposta

\tilde{A}^2 = \begin{pmatrix}2 & 2 \\\\ 2 & 2\end{pmatrix} \tilde{A}^3 = \begin{pmatrix}4 & 4 \\\\ 4 & 4\end{pmatrix}

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