Dada a matriz \underset{\sim}{F}=\left[\begin{array}{ll}3 & 0 \\\\ 0 & 3\end{array}\right] e \underset{\sim}{G}=\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right], mostre que \underset{\sim}{F} \cdot \underset{\sim}{G}=\underset{\sim}{G} \cdot \underset{\sim}{F}. Que tipo de matriz é a matriz \underset{\sim}{F} ?

Passo 1

O enunciado nos dá duas matrizes 2\times2:
\underset{\sim}{F} = \begin{pmatrix} 3 & 0\\\\ 0 & 3 \end{pmatrix}, \quad \underset{\sim}{G} = \begin{pmatrix} a & b\\\ c & d \end{pmatrix},
e pede para mostrar que \underset{\sim}{F}\,\underset{\sim}{G}=\underset{\sim}{G}\,\underset{\sim}{F}. Em seguida, pergunta que tipo de matriz é \underset{\sim}{F}. Para resolver, vamos usar a definição de multiplicação de matrizes e depois reconhecer a forma especial de \underset{\sim}{F}.

Passo 2

Calculemos \underset{\sim}{F}\,\underset{\sim}{G} pela regra de produto de matrizes:
\underset{\sim}{F}\,\underset{\sim}{G} = \begin{pmatrix} 3 & 0\\\\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b\\\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\cdot a + 0\cdot c & 3\cdot b + 0\cdot d\\[6pt] 0\cdot a + 3\cdot c & 0\cdot b + 3\cdot d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3a & 3b\\\\ 3c & 3d \end{pmatrix} =3\, \begin{pmatrix} a & b\\\ c & d \end{pmatrix} =3\,\underset{\sim}{G}.]

Passo 3

Agora calculemos \underset{\sim}{G}\,\underset{\sim}{F}:
\underset{\sim}{G}\,\underset{\sim}{F} = \begin{pmatrix} a & b\\\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 0\\\\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a\cdot3 + b\cdot0 & a\cdot0 + b\cdot3\\[6pt] c\cdot3 + d\cdot0 & c\cdot0 + d\cdot3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3a & 3b\\\\ 3c & 3d \end{pmatrix} =3\,\underset{\sim}{G}.]

Passo 4

Comparando os resultados dos Passos 2 e 3, vemos que
\underset{\sim}{F}\,\underset{\sim}{G} =3\,\underset{\sim}{G} = \underset{\sim}{G}\,\underset{\sim}{F},
logo \underset{\sim}{F} e \underset{\sim}{G} comutam.

Passo 5

Observamos que \underset{\sim}{F}=3I_2, ou seja, é um múltiplo escalar da matriz identidade I_2. Matrizes desse tipo são chamadas de matriz escalar. Em particular, toda matriz escalar é também diagonal, simétrica e comuta com qualquer outra matriz de mesmo tamanho.

Resposta

\underset{\sim}{F}\,\underset{\sim}{G}=\underset{\sim}{G}\,\underset{\sim}{F}=3\,\underset{\sim}{G}.
A matriz \underset{\sim}{F} é uma matriz escalar (múltiplo da identidade), portanto também diagonal e simétrica.

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