A única força que age sobre um corpo de 2,0 \mathrm{~kg} que está se movendo no sentido positivo do eixo dos x tem uma componente x F \_x=-6 x N, onde x está em metros. A velocidade do corpo em x=3,0 \mathrm{~m} é 8,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. (a) Qual a velocidade do corpo em \mathrm{x}=4,0 \mathrm{~m} ? (b) Para que valor positivo de x o corpo terá uma velocidade de 5,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ?

Passo 1

O enunciado dá um corpo de massa m=2,0\\ \mathrm{kg} movendo-se ao longo do eixo x sob a única força
F(x) = -6\,x\\ \mathrm{N},
sabendo que em x_{1}=3,0\\ \mathrm{m} a velocidade é v_{1}=8,0\\ \mathrm{m/s}.
Vamos usar o Teorema do Trabalho e Energia, que diz que o trabalho da força resulta na variação de energia cinética.

Passo 2

Segundo o Teorema do Trabalho e Energia, para dois pontos x_{1} e x_{2} vale
K_{2}-K_{1} \;=\;\int_{x_{1}}^{x_{2}}F(x)\,\mathrm{d}x,
onde K=\tfrac12\,m\,v^{2}.

Passo 3

Calculemos o trabalho de x_{1}=3,0\\ \mathrm{m} a x_{2}=4,0\\ \mathrm{m}:
W \;=\;\int_{3,0}^{4,0}(-6\,x)\,\mathrm{d}x \;=\;-6\;\Bigl[\tfrac{x^{2}}{2}\Bigr]_{3,0}^{4,0} \;=\;-3\,(4,0^{2}-3,0^{2}) \;=\;-3\,(16-9) \;=\;-21\\ \mathrm{J}.
A energia cinética inicial em x_{1} é
K_{1}=\tfrac12\,m\,v_{1}^{2} =\tfrac12\cdot2,0\cdot(8,0)^{2} =64\\ \mathrm{J}.
Logo, em x_{2}=4,0\\ \mathrm{m}
K_{2}=K_{1}+W =64-21 =43\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Dessa forma a velocidade em x=4,0\\ \mathrm{m} satisfaz
\tfrac12\,m\,v_{2}^{2}=43 \quad\Longrightarrow\quad v_{2}=\sqrt{\frac{2\cdot43}{2,0}} =\sqrt{43}\approx6,56\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Para achar x>0 tal que v=5,0\\ \mathrm{m/s}, usamos a forma geral
v^{2}(x) = v_{1}^{2} + \frac{2}{m}\int_{3,0}^{x}F(x')\,\mathrm{d}x' =64 - \frac{6}{m}\,\tfrac{x^{2}-3,0^{2}}{2} =64 -3\,(x^{2}-9).
Então
v^{2}(x)=64-3x^{2}+27 =91-3x^{2}.
Impondo v=5,0\\ \mathrm{m/s}, ou seja v^{2}=25, vem
25 =91-3x^{2} \quad\Longrightarrow\quad 3x^{2}=66 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=22 \quad\Longrightarrow\quad x=\sqrt{22}\approx4,69\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) v(4{,}0\\ \mathrm{m})=\sqrt{43}\approx6,56\\ \mathrm{m/s}.
(b) x\approx\sqrt{22}\approx4,69\\ \mathrm{m}.

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