- (Unirio) Um geólogo encontrou, numa de suas explorações, um cristal de rocha no formato de um poliedro, que satisfaz a relação de Euler, de 60 faces triangulares. O número de vértices desse cristal é igual a:
a) 35 .
b) 34 .
c) 33 .
d) 32 .
a) 35 .
b) 34 .
c) 33 .
d) 32 .
Passo 1
O enunciado diz que temos um cristal em forma de poliedro que satisfaz a relação de Euler e que possui
faces triangulares. A pergunta é: qual é o número de vértices desse poliedro?
Informações relevantes listadas:
Informações relevantes listadas:
- Número de faces:
. - Todas as faces são triângulos (cada face tem 3 arestas).
- O poliedro satisfaz a relação de Euler (isto é, podemos usar a fórmula de Euler para poliedros sem “buracos”).
O que precisamos encontrar: o número de vértices.
Passo 2
Apresentando a ferramenta principal: a fórmula de Euler para poliedros convexos (ou, mais generally, para poliedros topologicamente equivalentes à esfera). A fórmula diz:
onde
é o número de vértices,
é o número de arestas e
é o número de faces.
Explicando cada termo: conta quantos vértices existem;
conta quantas arestas existem;
conta quantas faces existem. Essa relação é uma identidade topológica que vale para o tipo de poliedro considerado aqui.
Explicando cada termo:
Passo 3
Agora precisamos expressar
em função de
. Usamos o fato de que cada face é um triângulo. Cada triângulo tem 3 arestas, então se somarmos o número de arestas de todas as faces obtemos
vezes o número de faces, isto é
. Mas esse procedimento conta cada aresta duas vezes, porque cada aresta pertence exatamente a duas faces (uma de cada lado). Portanto a soma
é igual a
. Em fórmula:
Isto é um método clássico de “contagem dupla”: contamos cada aresta uma vez por cada face que a contém.
Passo 4
Despejando
da expressão anterior, temos:
Agora substituímos
:
Calcule passo a passo:
. Então
Portanto o poliedro tem
arestas.
Passo 5
Voltemos à fórmula de Euler
. Substituímos
e
:
Simplificando o lado esquerdo:
, então
Passo 6
Isolando
, somamos
em ambos os lados:
Comentário de verificação rápida: poliedros com faces triangulares frequentemente têm relativamente poucos vértices comparados ao número de faces; por exemplo, um tetraedro tem
,
,
e satisfaz Euler — aqui o processo é análogo em escala maior.
Resposta
(d)