1. (Unirio) Um geólogo encontrou, numa de suas explorações, um cristal de rocha no formato de um poliedro, que satisfaz a relação de Euler, de 60 faces triangulares. O número de vértices desse cristal é igual a:
    a) 35 .
    b) 34 .
    c) 33 .
    d) 32 .

Passo 1

O enunciado diz que temos um cristal em forma de poliedro que satisfaz a relação de Euler e que possui \;60\; faces triangulares. A pergunta é: qual é o número de vértices desse poliedro?
Informações relevantes listadas:
  • Número de faces: \;F=60.
  • Todas as faces são triângulos (cada face tem 3 arestas).
  • O poliedro satisfaz a relação de Euler (isto é, podemos usar a fórmula de Euler para poliedros sem “buracos”).
    O que precisamos encontrar: o número de vértices \;V.

Passo 2

Apresentando a ferramenta principal: a fórmula de Euler para poliedros convexos (ou, mais generally, para poliedros topologicamente equivalentes à esfera). A fórmula diz:
V - E + F = 2,
onde \;V é o número de vértices, \;E é o número de arestas e \;F é o número de faces.
Explicando cada termo: \;V conta quantos vértices existem; \;E conta quantas arestas existem; \;F conta quantas faces existem. Essa relação é uma identidade topológica que vale para o tipo de poliedro considerado aqui.

Passo 3

Agora precisamos expressar \;E em função de \;F. Usamos o fato de que cada face é um triângulo. Cada triângulo tem 3 arestas, então se somarmos o número de arestas de todas as faces obtemos 3 vezes o número de faces, isto é 3F. Mas esse procedimento conta cada aresta duas vezes, porque cada aresta pertence exatamente a duas faces (uma de cada lado). Portanto a soma 3F é igual a 2E. Em fórmula:
3F = 2E.
Isto é um método clássico de “contagem dupla”: contamos cada aresta uma vez por cada face que a contém.

Passo 4

Despejando \;E da expressão anterior, temos:
E = \frac{3F}{2}.
Agora substituímos \;F=60:
E = \frac{3\cdot 60}{2}.
Calcule passo a passo: 3\cdot 60 = 180. Então
E = \frac{180}{2} = 90.
Portanto o poliedro tem \;90\; arestas.

Passo 5

Voltemos à fórmula de Euler \;V - E + F = 2. Substituímos \;E=90 e \;F=60:
V - 90 + 60 = 2.
Simplificando o lado esquerdo: -90 + 60 = -30, então
V - 30 = 2.

Passo 6

Isolando \;V, somamos 30 em ambos os lados:
V = 2 + 30 = 32.
Comentário de verificação rápida: poliedros com faces triangulares frequentemente têm relativamente poucos vértices comparados ao número de faces; por exemplo, um tetraedro tem F=4, E=6, V=4 e satisfaz Euler — aqui o processo é análogo em escala maior.

Resposta

(d) 32

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