3) UNIV. FEDERAL DO SUL E SUDESTE DO PARÁ (PA) - 2018

Considere um sistema de coordenadas cartesianas tridimensional ( x ; y ; z ), com origem no ponto 0=(0 \mathrm{~m} ; 0 \mathrm{~m} ; 0 \mathrm{~m}). Uma força com módulo 700 N aponta de 0 para B=(-2 \mathrm{~m} ;-3 \mathrm{~m} ; 6 \mathrm{~m}). Determine o componente y da força.
a) 200 N .
b) -300 N .
c) -100 N .
d) 600 N .
e) -50 N .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Sistema de coordenadas com origem em 0=(0\\ \mathrm{m};0\\ \mathrm{m};0\\ \mathrm{m}).
  • Uma força de módulo 700\\ \mathrm{N} aponta de 0 para o ponto B=\bigl(-2\\ \mathrm{m};-3\\ \mathrm{m};6\\ \mathrm{m}\bigr).
    A pergunta é: determinar a componente y dessa força (ou seja, o valor numérico e o sinal da componente ao longo do eixo y).

Passo 2

Representar a direção da força pelo vetor posição (ou vetor direção) de B a partir da origem:
\vec r = \langle -2,\,-3,\,6\rangle\\ \mathrm{m}.
Para obter as componentes da força, precisamos primeiro transformar \vec r em um vetor unitário na mesma direção. Um vetor unitário \hat u é dado por
\hat u=\frac{\vec r}{\lVert \vec r\rVert},
onde \lVert \vec r\rVert é o comprimento (norma) de \vec r.

Passo 3

Calcular a norma de \vec r:
\lVert \vec r\rVert=\sqrt{(-2)^2+(-3)^2+6^2}=\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}=7\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular o vetor unitário na direção de \vec r:
\hat u=\frac{1}{7}\langle -2,\,-3,\,6\rangle=\bigl\langle -\tfrac{2}{7},\,-\tfrac{3}{7},\,\tfrac{6}{7}\bigr\rangle.
A força \vec F tem módulo 700\\ \mathrm{N} e está na direção de \hat u, logo
\vec F = 700\\ \hat u = 700\cdot\bigl\langle -\tfrac{2}{7},\,-\tfrac{3}{7},\,\tfrac{6}{7}\bigr\rangle.
Fazendo as multiplicações:
\vec F = \langle -200,\,-300,\,600\rangle\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Interpretar o resultado: a componente y da força é a segunda componente do vetor \vec F, que vale -300\\ \mathrm{N}. O sinal negativo indica que a força aponta no sentido negativo do eixo y.

Resposta

-300\\ \mathrm{N}

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