No laboratório de mecânica, um técnico deseja medir a massa de um determinado corpo A (MA). Para realizar esta tarefa ele dispõe de uma balança mecânica de dois braços e corpos denominados de B, C, D e F. Sabendo que as massas dos corpos B e C são, respectivamente, MB=100 g e MC=200 g e que MD =1 / 2 \mathrm{MF}, ele encontra o equilíbrio entre os braços da balança nas duas situações descritas abaixo:
  1. Quando coloca em um dos pratos da balança o corpo A e no outro os corpos B e D.
  2. Quando coloca em um dos pratos da balança os corpos A e F e no outro o corpo C.
    Qual o valor de MA encontrado?
    a) 150,00 \mathrm{~g}
    b) 135,00 \mathrm{~g}
    c) 300,00 \mathrm{~g}
    d) 250,00 \mathrm{~g}
    e) 133,33 \mathrm{~g}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado pede: determinar a massa do corpo A, isto é, encontrar M_A.
  • Dados fornecidos:
    • M_B = 100\\ \mathrm{g}.
    • M_C = 200\\ \mathrm{g}.
    • M_D = \dfrac{1}{2}M_F.
    • Dois equilíbrios observados com a balança:
      1. Prato esquerdo: A. Prato direito: B e D. Há equilíbrio.
      2. Prato esquerdo: A e F. Prato direito: C. Há equilíbrio.
  • O enunciado apresenta cinco alternativas; devemos calcular M_A e escolher a correta.

Passo 2

Entendendo a física da balança (regra que vamos usar): numa balança de dois braços com braços iguais, o equilíbrio ocorre quando as massas nos dois pratos são iguais (pois os torques das duas massas são iguais se os braços têm o mesmo comprimento). Em linguagem simples: se num prato há massa X e no outro massa Y, equilíbrio implica X=Y.

Passo 3

Escrevendo as equações de equilíbrio para cada situação (usando a regra do passo anterior):
  • Situação 1 (um prato com A, outro com B e D):
M_A = M_B + M_D.
  • Situação 2 (um prato com A e F, outro com C):
M_A + M_F = M_C.
Aqui M_A,M_B,M_C,M_D,M_F são as massas dos corpos A,B,C,D,F.

Passo 4

Substituir os dados conhecidos. Já sabemos M_B = 100\\ \mathrm{g}, M_C = 200\\ \mathrm{g} e M_D = \dfrac{1}{2}M_F. Então as equações ficam:
Da situação 1:
M_A = 100 + M_D.
Da situação 2:
M_A + M_F = 200.
E usando M_D = \dfrac{1}{2}M_F, a primeira equação torna-se
M_A = 100 + \dfrac{1}{2}M_F.

Passo 5

Agora temos duas expressões para M_A; igualamos e resolvemos para M_F.
Igualando a expressão da situação 1 com a da situação 2 (isolando M_A em ambas):
100 + \dfrac{1}{2}M_F = 200 - M_F.
Agora resolvemos a equação para M_F. Somando M_F aos dois lados e subtraindo 100 de ambos:
100 + \dfrac{1}{2}M_F + M_F - 100 = 200 - M_F + M_F - 100
que simplifica para
\dfrac{3}{2}M_F = 100.
Isolando M_F:
M_F = \dfrac{100}{3/2} = 100\cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{200}{3}\\ \mathrm{g}.
Numérico: \dfrac{200}{3}\\ \mathrm{g} \approx 66{,}666\ldots\\ \mathrm{g}.

Passo 6

Com M_F encontrado, determinamos M_A via a equação da situação 2:
M_A = 200 - M_F = 200 - \dfrac{200}{3} = \dfrac{600-200}{3} = \dfrac{400}{3}\\ \mathrm{g}.
Em valor decimal:
M_A = \dfrac{400}{3}\\ \mathrm{g} \approx 133{,}333\ldots\\ \mathrm{g}.
Arredondando para duas casas decimais (como nas alternativas): M_A \approx 133{,}33\\ \mathrm{g}.

Resposta

e) 133{,}33\\ \mathrm{g}

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