10) COMPANHIA DE DESENV. DOS VALES DO SÃO FRANCISCO E DO PARNAÍBA - 2003

Uma pirâmide reta, de altura H e base quadrada de lado L, com massa m uniformemente distribuída, está apoiada sobre um plano horizontal. Uma força F com direção paralela ao lado AB é aplicada no vértice V. Dois pequenos obstáculos O, fixos no plano, impedem que a pirâmide se desloque horizontalmente. A força F capaz de fazer tombar a pirâmide deve ser tal que:
a) |\overrightarrow{\mathrm{F}}|>\frac{\mathrm{mgH}^{2}}{\sqrt{\left(\frac{\mathrm{~L}}{2}\right)^{2}+\mathrm{H}^{2}}};
b) |\overrightarrow{\mathrm{F}}|>\mathrm{mg};
c) |\overrightarrow{\mathrm{F}}|>\frac{\mathrm{mgH}}{\left(\frac{\mathrm{L}}{2}\right)};
d) |\overrightarrow{\mathrm{F}}|>\frac{\mathrm{mg} \cdot\left(\frac{\mathrm{L}}{2}\right)}{\mathrm{H}};
e) |\vec{F}|>\frac{\operatorname{mg}\left(\frac{L}{2}\right)}{\sqrt{\left(\frac{L}{2}\right)^{2}+H^{2}}}.

Passo 1

O enunciado dá uma pirâmide reta com:
  • altura H;
  • base quadrada de lado L;
  • massa m uniformemente distribuída;
  • a pirâmide está apoiada sobre um plano horizontal;
  • uma força \overrightarrow{F} é aplicada no vértice V com direção paralela ao lado AB (ou seja, horizontal);
  • dois pequenos obstáculos fixos impedem que a pirâmide se desloque horizontalmente (logo não há deslizamento, só rotação possível).
O que o problema pede: determinar a condição (qual alternativa) para o valor mínimo de |\overrightarrow{F}| capaz de provocar o tombamento da pirâmide.

Passo 2

Entendendo o fenômeno (ideia física que vamos usar). Como o deslocamento horizontal é impedido, a pirâmide só pode rodar em torno de uma aresta da base. Ao empurrar horizontalmente no vértice, a pirâmide tende a girar fazendo levantar a aresta oposta; o pivô da rotação será a aresta da base do lado para o qual a força empurra (a aresta que permanece em contato com o plano). O tombamento ocorre quando o momento (torque) produzido pela força \overrightarrow{F} em torno desse eixo de rotação supera o momento de restauração devido ao peso mg atuando no centro de massa. Portanto compararemos os momentos (torques) de \overrightarrow{F} e de mg em torno do mesmo eixo.

Passo 3

Posição do centro de massa da pirâmide (informação essencial). Para uma pirâmide de base plana e massa uniformemente distribuída, o centro de massa fica no eixo de simetria, a uma altura
\frac{H}{4}
medida a partir da base. Breve justificativa (só para fixar a fórmula): cortar a pirâmide em fatias horizontais tem área da seção proporcional a (1-\tfrac{z}{H})^{2}, integrar z vezes essa área e dividir pelo volume dá z_{\text{cm}}=\tfrac{H}{4}. Assim o centro de massa tem coordenadas (no sistema com origem no centro da base): (0,0,\tfrac{H}{4}).

Passo 4

Escolha do eixo de rotação e dos vetores posição. Coloque o centro da base na origem e eixos x na direção da força (paralela a AB), y perpendicular no plano da base, z vertical para cima. Os vértices da base têm coordenadas (\pm\tfrac{L}{2},\pm\tfrac{L}{2},0). Se a força empurra no sentido positivo de x, o eixo de rotação (aresta de contato que fica imóvel) é a linha x=\tfrac{L}{2} (aresta lateral voltada para a direita). Tome como ponto de referência no eixo de rotação o ponto P de coordenadas \bigl(\tfrac{L}{2},0,0\bigr).
Posições relevantes (vetores de P até o ponto de aplicação das forças):
  • do ponto P até o vértice V (onde \overrightarrow{F} é aplicado): \overrightarrow{r}_F = \bigl(0-\tfrac{L}{2},\,0-0,\,H-0\bigr)=\bigl(-\tfrac{L}{2},\,0,\,H\bigr).
  • do ponto P até o centro de massa G: \overrightarrow{r}_G = \bigl(0-\tfrac{L}{2},\,0,\,\tfrac{H}{4}\bigr)=\bigl(-\tfrac{L}{2},\,0,\,\tfrac{H}{4}\bigr).

Passo 5

Cálculo do momento (torque) da força aplicada em torno do eixo. A força é horizontal na direção x, escrevemos \overrightarrow{F}=(F,0,0). O momento relativo a P é \overrightarrow{\tau}_F=\overrightarrow{r}_F\times\overrightarrow{F}. Fazendo o produto vetorial:
\overrightarrow{r}_F\times\overrightarrow{F} = \bigl(-\tfrac{L}{2},0,H\bigr)\times(F,0,0) = \bigl(0,\;H F,\;0\bigr).
A magnitude do torque útil para girar a pirâmide (componente ao longo do eixo de rotação) é
|\overrightarrow{\tau}_F| = H\,F.
Intuição: o braço de alavanca da força em relação ao eixo é simplesmente a altura H quando a força é horizontal.

Passo 6

Cálculo do momento do peso mg em torno do mesmo eixo. O peso é \overrightarrow{W}=(0,0,-mg). O momento em relação a P é
\overrightarrow{\tau}_W=\overrightarrow{r}_G\times\overrightarrow{W} = \bigl(-\tfrac{L}{2},0,\tfrac{H}{4}\bigr)\times(0,0,-mg) = \bigl(0,\; -\tfrac{L}{2}\,mg,\;0\bigr).
A magnitude do momento restaurador é
|\overrightarrow{\tau}_W| = \frac{L}{2}\,mg.

Passo 7

Condição de tombamento. A pirâmide tomba quando o momento da força excede o momento do peso:
H\,F > \frac{L}{2}\,mg.
Isolando F obtemos a condição mínima:
F > \frac{mg\cdot\left(\tfrac{L}{2}\right)}{H}.
Isto corresponde exatamente à alternativa (d).

Resposta

(d)

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