Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP
Mostre que as componentes de um vetor transformam como
A_{i}^{\prime}=R_{i j} A_{j}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as componentes de um vetor transformam-se segundo
A_{i}^{\prime}=R_{i j} A_{j}.
Informações relevantes e hipóteses que vamos usar (tudo que o problema pressupõe):
  • Existe um vetor físico (ou geométrico) que chamamos de \mathbf{A}.
  • Esse vetor pode ser representado por componentes relativas a duas bases (duas réguas de referência): a base não-primada \{\mathbf{e}_i\} e a base primada \{\mathbf{e}'_i\}.
  • Usaremos a convenção de soma de Einstein: índices repetidos uma vez como subscrito e uma vez como sobrescrito (ou ambos na mesma posição) implicam soma sobre todos os valores do índice.
  • Há uma matriz R_{ij} que relaciona as duas bases (essa matriz representa a mudança de referência; pode ser, por exemplo, uma rotação). A relação exata entre R e as bases será explicitada nos próximos passos.

Passo 2

Definição de componentes de um vetor numa base. Um vetor \mathbf{A} é um objeto geométrico independente de base. Isso significa que se escrevemos \mathbf{A} nas duas bases, os dois desenvolvimentos representam o mesmo vetor:
\mathbf{A}=A_{i}\,\mathbf{e}_{i}=A_{i}^{\prime}\,\mathbf{e}_{i}^{\prime}.
Aqui:
  • \mathbf{e}_i são os vetores da base antiga e A_i são as componentes do vetor nessa base.
  • \mathbf{e}_i' são os vetores da base nova e A_i' são as componentes do vetor nessa base.
    Explicação didática: a igualdade acima é simplesmente a afirmação “o vetor físico não muda” — só mudam as letras que usamos para descrevê-lo.

Passo 3

Relação entre as bases via a matriz R. A mudança de base é linear, por isso cada vetor da base primada pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base não-primada. Escrevemos essa relação (uma forma conveniente de anotar) como
\mathbf{e}_{i}^{\prime}=R_{i j}\,\mathbf{e}_{j}.
Significado das notações:
  • R_{ij} é um número (elemento da matriz) que diz “quanto da direção \mathbf{e}_j” está presente em \mathbf{e}_i'”.
  • O índice i em \mathbf{e}_i' indica qual vetor primado está sendo escrito; o índice j é o somatório sobre a base antiga.
    Observação sobre convenção: algumas referências escrevem a relação com os índices trocados (por exemplo \mathbf{e}_i = R_{ij}\mathbf{e}'_j); isso corresponde a escolher qual matriz R representa a mudança direta e qual representa a inversa. Aqui adotamos a forma acima porque é a mais direta para seguir a derivação pedida.

Passo 4

Substituição da relação das bases na expressão do vetor. Usando \mathbf{A}=A_{i}^{\prime}\,\mathbf{e}_{i}^{\prime} e substituindo \mathbf{e}_{i}^{\prime}=R_{i j}\mathbf{e}_{j}, obtemos
\mathbf{A}=A_{i}^{\prime}\,R_{i j}\,\mathbf{e}_{j}.
Explicação: multiplicação escalar/composição linear é distributiva; índices repetidos são somados. A ordem dos fatores escalares A_i' e R_{ij} não importa porque são números.

Passo 5

Comparação dos dois desenvolvimentos do mesmo vetor na mesma base. Já temos também a expressão \mathbf{A}=A_{k}\,\mathbf{e}_{k}. Como \{\mathbf{e}_j\} é uma base (os vetores \mathbf{e}_j são linearmente independentes), a combinação linear em cima de \mathbf{e}_j é única. Assim, os coeficientes que aparecem multiplicando cada \mathbf{e}_j devem ser iguais. Igualando os coeficientes da expansão na base \{\mathbf{e}_j\} vem
A_{j}=A_{i}^{\prime}\,R_{i j}.
Observação sobre índices: nesta equação j é um índice livre (não somado) e i é índice repetido (somado). A equação diz: o componente A_j na base antiga é uma combinação linear das componentes primadas com coeficientes R_{ij}.

Passo 6

Isolar A_i' (passar para a forma pedida). A equação do Passo 5 pode ser escrita em forma matricial como \mathbf{A} = R^{\mathrm{T}}\mathbf{A}' (sefor útil visualizar). Para obter \mathbf{A}' em função de \mathbf{A}, precisamos inverter essa relação. Se a mudança de base é uma rotação ou, mais geralmente, uma transformação representada por uma matriz inversível R, a inversa existe. No caso importante de rotações (ou transformações ortogonais) vale
R^{-1}=R^{\mathrm{T}},
ou em indices
(R^{-1})_{ij}=R_{ji}.
Multiplicando a relação A_{j}=A_{i}^{\prime}R_{i j} pela matriz inversa apropriada e cuidando dos índices, obtemos
A_{i}^{\prime}=(R^{-1})_{i j}\,A_{j}.
Se agora assumimos que R é ortogonal (caso típico de rotações), substituímos (R^{-1})_{ij}=R_{ji} e, renomeando índices dummies, podemos escrever a forma equivalente
A_{i}^{\prime}=R_{i j}\,A_{j},
que é exatamente a expressão pedida. Explicação prática: a aparente troca de índices vem de se inverter a relação que liga bases; para rotações a inversa é a transposta, o que leva à forma simples pedida.

Passo 7

Resumo interpretativo e exemplo numérico simples (para fixar). Interpretação: a matriz R que aparece na fórmula age sobre as componentes do vetor; ela traduz a mudança de referência (por exemplo uma rotação do sistema de coordenadas). Exemplo em duas dimensões: para uma rotação de ângulo \theta a matriz é
R=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\[4pt]\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}.
Se A=(A_{1},A_{2}) são as componentes na base antiga, as componentes na base rotacionada são
\begin{aligned} A_{1}^{\prime}&=\cos\theta\,A_{1}-\sin\theta\,A_{2},\\[4pt] A_{2}^{\prime}&=\sin\theta\,A_{1}+\cos\theta\,A_{2}, \end{aligned}
o que é um caso concreto da relação A_{i}^{\prime}=R_{ij}A_{j}.]

Resposta

A_{i}^{\prime}=R_{i j} A_{j}

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