Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP
Mostre que as componentes de um vetor transformam como
Mostre que as componentes de um vetor transformam como
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as componentes de um vetor transformam-se segundo
Informações relevantes e hipóteses que vamos usar (tudo que o problema pressupõe):
- Existe um vetor físico (ou geométrico) que chamamos de
. - Esse vetor pode ser representado por componentes relativas a duas bases (duas réguas de referência): a base não-primada
e a base primada . - Usaremos a convenção de soma de Einstein: índices repetidos uma vez como subscrito e uma vez como sobrescrito (ou ambos na mesma posição) implicam soma sobre todos os valores do índice.
- Há uma matriz
que relaciona as duas bases (essa matriz representa a mudança de referência; pode ser, por exemplo, uma rotação). A relação exata entre e as bases será explicitada nos próximos passos.
Passo 2
Definição de componentes de um vetor numa base. Um vetor
é um objeto geométrico independente de base. Isso significa que se escrevemos
nas duas bases, os dois desenvolvimentos representam o mesmo vetor:
Aqui:
-
são os vetores da base antiga e são as componentes do vetor nessa base. -
são os vetores da base nova e são as componentes do vetor nessa base.
Explicação didática: a igualdade acima é simplesmente a afirmação “o vetor físico não muda” — só mudam as letras que usamos para descrevê-lo.
Passo 3
Relação entre as bases via a matriz
. A mudança de base é linear, por isso cada vetor da base primada pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base não-primada. Escrevemos essa relação (uma forma conveniente de anotar) como
Significado das notações:
-
é um número (elemento da matriz) que diz “quanto da direção ” está presente em ”. - O índice
em indica qual vetor primado está sendo escrito; o índice é o somatório sobre a base antiga.
Observação sobre convenção: algumas referências escrevem a relação com os índices trocados (por exemplo); isso corresponde a escolher qual matriz representa a mudança direta e qual representa a inversa. Aqui adotamos a forma acima porque é a mais direta para seguir a derivação pedida.
Passo 4
Substituição da relação das bases na expressão do vetor. Usando
e substituindo
, obtemos
Explicação: multiplicação escalar/composição linear é distributiva; índices repetidos são somados. A ordem dos fatores escalares
e
não importa porque são números.
Passo 5
Comparação dos dois desenvolvimentos do mesmo vetor na mesma base. Já temos também a expressão
. Como
é uma base (os vetores
são linearmente independentes), a combinação linear em cima de
é única. Assim, os coeficientes que aparecem multiplicando cada
devem ser iguais. Igualando os coeficientes da expansão na base
vem
Observação sobre índices: nesta equação
é um índice livre (não somado) e
é índice repetido (somado). A equação diz: o componente
na base antiga é uma combinação linear das componentes primadas com coeficientes
.
Passo 6
Isolar
(passar para a forma pedida). A equação do Passo 5 pode ser escrita em forma matricial como
(sefor útil visualizar). Para obter
em função de
, precisamos inverter essa relação. Se a mudança de base é uma rotação ou, mais geralmente, uma transformação representada por uma matriz inversível
, a inversa existe. No caso importante de rotações (ou transformações ortogonais) vale
ou em indices
Multiplicando a relação
pela matriz inversa apropriada e cuidando dos índices, obtemos
Se agora assumimos que
é ortogonal (caso típico de rotações), substituímos
e, renomeando índices dummies, podemos escrever a forma equivalente
que é exatamente a expressão pedida. Explicação prática: a aparente troca de índices vem de se inverter a relação que liga bases; para rotações a inversa é a transposta, o que leva à forma simples pedida.
Passo 7
Resumo interpretativo e exemplo numérico simples (para fixar). Interpretação: a matriz
que aparece na fórmula age sobre as componentes do vetor; ela traduz a mudança de referência (por exemplo uma rotação do sistema de coordenadas). Exemplo em duas dimensões: para uma rotação de ângulo
a matriz é
Se
são as componentes na base antiga, as componentes na base rotacionada são
o que é um caso concreto da relação
.]