Universidade de São Paulo - USP
Defina uma grandeza vetorial.

Passo 1

O enunciado pede uma definição: “Defina uma grandeza vetorial.”
Informações dadas: nenhuma outra informação numérica ou figura — só a pergunta por uma definição clara e compreensível.
Objetivo desta resolução: apresentar uma definição precisa de grandeza vetorial, explicar suas características essenciais, mostrar representações e operações básicas e dar exemplos práticos para que eu consiga reconhecer e usar vetores na prova.

Passo 2

Começando devagar — o que é uma grandeza mensurável?
Uma grandeza mensurável é algo que podemos atribuir um valor. Algumas grandezas precisam apenas de um número para serem descritas (por exemplo, massa m em quilogramas), outras precisam de número e também de direção (por exemplo, deslocamento). As que precisam de direção e sentido são as grandeszas vetoriais; as que precisam só de número (e unidade) são escalares. Vou mostrar a diferença com exemplos simples:
  • Escalar: massa m, temperatura T, energia E. Só importa “quanto”.
  • Vetorial: deslocamento \vec{s}, velocidade \vec{v}, força \vec{F}. Importa “quanto”, “para onde” e “qual o sentido”.

Passo 3

Definição formal e intuitiva de grandeza vetorial.
Uma grandeza vetorial é uma grandeza física (ou matemática) que, para ser completamente descrita, requer três elementos:
  1. módulo (ou intensidade) — um número não negativo que diz o tamanho;
  2. direção — a linha ao longo da qual o vetor atua;
  3. sentido — qual dos dois sentidos da direção é o correto (seta para frente ou para trás).
Matematicamente, denota-se tipicamente por \vec{v} e representa-se por uma seta: uma origem e uma ponta que indicam direção e sentido; o comprimento da seta indica o módulo. Além disso, vetores obedecem operações algébricas (adição vetorial e multiplicação por escalar) que respeitam regras específicas — por isso são objetos distintos de escalares.

Passo 4

Representação em componentes e cálculo do módulo/direção.
Numa base ortonormal tridimensional padrão, um vetor \vec{v} pode ser escrito em componentes como
\vec{v} = v_x\,\hat{i} + v_y\,\hat{j} + v_z\,\hat{k},
onde v_x, v_y, v_z são números reais (as componentes) e \hat{i},\hat{j},\hat{k} são vetores unitários que indicam as direções dos eixos x,y,z. O módulo (norma) do vetor é dado por
\lVert \vec{v}\rVert = \sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}+v_z^{2}}.
Para o caso em duas dimensões (v_x,v_y), a direção pode ser dada pelo ângulo \theta medido em relação ao eixo x:
\theta = \arctan\!\left(\dfrac{v_y}{v_x}\right),
lembrando de ajustar \theta ao quadrante correto dependendo dos sinais de v_x e v_y.
Exemplo numérico pequeno (para fixar): se \vec{v}=(3,4,0) então
\lVert \vec{v}\rVert = \sqrt{3^{2}+4^{2}+0^{2}}=\sqrt{9+16}=5,
ou seja, o módulo é 5 (unidades). A direção em 2D tem \theta=\arctan(4/3).

Passo 5

Operações básicas com vetores (o que preciso saber para a prova).
  • Adição vetorial (geométrica): regra do paralelogramo ou soma ponta-a-cauda. Componentes:
\vec{u}+\vec{v}=(u_x+v_x)\,\hat{i}+(u_y+v_y)\,\hat{j}+(u_z+v_z)\,\hat{k}.
  • Multiplicação por escalar a\in\mathbb{R}:
a\vec{v}=(a v_x)\,\hat{i}+(a v_y)\,\hat{j}+(a v_z)\,\hat{k},
o que altera o módulo por |a| e, se a<0, inverte o sentido.
Essas operações seguem propriedades familiares: comutatividade \vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}, associatividade, distributividade em relação a escalares, etc.

Passo 6

Produtos importantes: produto escalar e produto vetorial (quando aparecem).
  • Produto escalar (ou interno): para \vec{u} e \vec{v},
\vec{u}\cdot\vec{v}=\lVert \vec{u}\rVert\,\lVert \vec{v}\rVert\cos\varphi,
onde \varphi é o ângulo entre eles. Em componentes:
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z.
O produto escalar dá um escalar e é útil para encontrar projeções e ângulos.
  • Produto vetorial (só em 3D): \vec{u}\times\vec{v} é um vetor perpendicular aos dois, com módulo \lVert\vec{u}\rVert\lVert\vec{v}\rVert\sin\varphi e direção dada pela regra da mão direita. Em componentes pode ser calculado pela determinante formal com \hat{i},\hat{j},\hat{k}.

Passo 7

Como reconhecer na prova se uma grandeza é vetorial ou escalar (dica prática).
Pergunte-se: a resposta precisa indicar direção e sentido? Se sim, é vetorial. Exemplos práticos:
  • Vetores: deslocamento \vec{s}, velocidade \vec{v}, aceleração \vec{a}, força \vec{F}, momento linear \vec{p}, campo elétrico \vec{E}.
  • Escalares: massa m, temperatura T, energia E, rapidez (speed) — atenção: rapidez é escalar, velocidade é vetorial.
    Unidade por si só não decide: por exemplo, velocidade e rapidez têm mesma unidade \mathrm{m/s} mas são conceitos distintos.

Passo 8

Resumo didático final (o que memorizar e o que usar na prova).
  • Memorizar: uma grandeza vetorial exige módulo, direção e sentido; representa-se por seta ou por componentes; admite soma geométrica e multiplicação por escalar; produto escalar e vetorial têm interpretações e fórmulas úteis.
  • Na prova: ao ver palavras como “direção”, “sentido”, “para” (ex.: “para o norte”), “deslocamento”, “força”, ou quando se pede decompor em componentes, imediatamente pensar em vetor e usar representações componenciais e as operações mostradas.

Resposta

Uma grandeza vetorial é uma grandeza que, para ser completamente descrita, exige módulo (intensidade), direção e sentido; pode ser representada por uma seta ou por componentes \vec{v}=v_x\hat{i}+v_y\hat{j}+v_z\hat{k}, admite operações de soma e multiplicação por escalar e tem produtos específicos como o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v}=\lVert\vec{u}\rVert\lVert\vec{v}\rVert\cos\varphi e, em 3D, o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} (perpendicular a \vec{u} e \vec{v}).

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