Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN
Mostre que o produto de duas rotações é uma rotação.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o produto (composição) de duas rotações é uma rotação. Vamos considerar duas rotações no plano que giram em torno da origem por ângulos \alpha e \beta. Dados e perguntas claras:
  • Dados: duas rotações na \mathbb{R}^2 com ângulos \alpha e \beta.
  • Pergunta: provar que a composição dessas duas rotações é novamente uma rotação, e identificar qual é o ângulo dessa rotação.

Passo 2

Definir explicitamente a matriz que representa uma rotação de ângulo \theta em torno da origem. A rotação por \theta é a transformação linear que envia um vetor (x,y) para um vetor girado em \theta. Sua matriz (na base canônica) é
R(\theta)=\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\[4pt] \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}.
Explicando as partes: \theta é o ângulo de rotação (positivo no sentido anti-horário), \cos\theta e \sin\theta são as funções trigonométricas habituais. Essa matriz efetivamente gira o vetor (1,0) para (\cos\theta,\sin\theta) e o vetor (0,1) para (-\sin\theta,\cos\theta), o que corresponde a um giro de \theta.
Além disso, é útil lembrar duas identidades trigonométricas fundamentais, que vamos usar:
\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta, \qquad \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta.]

Passo 3

Calcular explicitamente o produto das duas matrizes de rotação R(\alpha) e R(\beta). Escrevendo-as:
R(\alpha)=\begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha\\[4pt] \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}, \qquad R(\beta)=\begin{pmatrix} \cos\beta & -\sin\beta\\[4pt] \sin\beta & \cos\beta \end{pmatrix}.
Multiplicando R(\alpha)R(\beta) por regra de multiplicação de matrizes (linha vezes coluna), obtemos cada entrada passo a passo.
Entrada superior esquerda:
(\cos\alpha)(\cos\beta)+(-\sin\alpha)(\sin\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta.
Entrada superior direita:
(\cos\alpha)(-\sin\beta)+(-\sin\alpha)(\cos\beta)=-\bigl(\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta\bigr).
Entrada inferior esquerda:
(\sin\alpha)(\cos\beta)+(\cos\alpha)(\sin\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta.
Entrada inferior direita:
(\sin\alpha)(-\sin\beta)+(\cos\alpha)(\cos\beta)=-\sin\alpha\sin\beta+\cos\alpha\cos\beta=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta.
Agora usar as identidades trigonométricas citadas: a entrada superior esquerda e a inferior direita são iguais a \cos(\alpha+\beta). A entrada inferior esquerda é \sin(\alpha+\beta). A entrada superior direita é -\sin(\alpha+\beta). Portanto a matriz produto fica
R(\alpha)R(\beta)=\begin{pmatrix} \cos(\alpha+\beta) & -\sin(\alpha+\beta)\\[4pt] \sin(\alpha+\beta) & \cos(\alpha+\beta) \end{pmatrix}.]

Passo 4

Interpretando o resultado do passo anterior: a matriz obtida é exatamente a matriz de rotação por ângulo \alpha+\beta, ou seja, R(\alpha)R(\beta)=R(\alpha+\beta). Logo a composição de duas rotações (em torno da origem) é novamente uma rotação — especificamente uma rotação cujo ângulo é a soma dos ângulos das rotações originais. Observação útil: se \alpha+\beta\equiv 0\pmod{2\pi} essa composição é a identidade (rotação trivial).
Comentário alternativo (mais conceitual): as matrizes R(\theta) satisfazem R(\theta)^T R(\theta)=I (são ortogonais) e \det R(\theta)=1. O conjunto dessas matrizes forma o grupo especial ortogonal \mathrm{SO}(2). Para A,B\in\mathrm{SO}(2) vale (AB)^T(AB)=B^T A^T A B=I e \det(AB)=\det A\det B=1, logo AB\in\mathrm{SO}(2). Assim o produto de duas rotações (membros de \mathrm{SO}(2)) é outra rotação. Essa visão evita o cálculo direto e usa propriedades de matrizes ortogonais.

Passo 5

Exemplo numérico curto para fixar (só para ver que funciona): tome \alpha=30^\circ e \beta=45^\circ. Então \alpha+\beta=75^\circ. Se calcular numericamente R(30^\circ)R(45^\circ) vai dar exatamente R(75^\circ), confirmando o resultado concreto.

Resposta

\displaystyle R(\alpha)R(\beta)=\begin{pmatrix}\cos(\alpha+\beta)&-\sin(\alpha+\beta)\\[4pt]\sin(\alpha+\beta)&\cos(\alpha+\beta)\end{pmatrix}, ou seja, a composição é uma rotação de ângulo \alpha+\beta.]

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