Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN
Mostre que o produto de duas rotações é uma rotação.
Mostre que o produto de duas rotações é uma rotação.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o produto (composição) de duas rotações é uma rotação. Vamos considerar duas rotações no plano que giram em torno da origem por ângulos
e
. Dados e perguntas claras:
- Dados: duas rotações na
com ângulos e . - Pergunta: provar que a composição dessas duas rotações é novamente uma rotação, e identificar qual é o ângulo dessa rotação.
Passo 2
Definir explicitamente a matriz que representa uma rotação de ângulo
em torno da origem. A rotação por
é a transformação linear que envia um vetor
para um vetor girado em
. Sua matriz (na base canônica) é
Explicando as partes:
é o ângulo de rotação (positivo no sentido anti-horário),
e
são as funções trigonométricas habituais. Essa matriz efetivamente gira o vetor
para
e o vetor
para
, o que corresponde a um giro de
.
Além disso, é útil lembrar duas identidades trigonométricas fundamentais, que vamos usar:
Passo 3
Calcular explicitamente o produto das duas matrizes de rotação
e
. Escrevendo-as:
Multiplicando
por regra de multiplicação de matrizes (linha vezes coluna), obtemos cada entrada passo a passo.
Entrada superior esquerda:
Entrada superior direita:
Entrada inferior esquerda:
Entrada inferior direita:
Agora usar as identidades trigonométricas citadas: a entrada superior esquerda e a inferior direita são iguais a
. A entrada inferior esquerda é
. A entrada superior direita é
. Portanto a matriz produto fica
Passo 4
Interpretando o resultado do passo anterior: a matriz obtida é exatamente a matriz de rotação por ângulo
, ou seja,
. Logo a composição de duas rotações (em torno da origem) é novamente uma rotação — especificamente uma rotação cujo ângulo é a soma dos ângulos das rotações originais. Observação útil: se
essa composição é a identidade (rotação trivial).
Comentário alternativo (mais conceitual): as matrizes
satisfazem
(são ortogonais) e
. O conjunto dessas matrizes forma o grupo especial ortogonal
. Para
vale
e
, logo
. Assim o produto de duas rotações (membros de
) é outra rotação. Essa visão evita o cálculo direto e usa propriedades de matrizes ortogonais.
Passo 5
Exemplo numérico curto para fixar (só para ver que funciona): tome
e
. Então
. Se calcular numericamente
vai dar exatamente
, confirmando o resultado concreto.