(x-3)^{4}>0

Passo 1

O enunciado é a desigualdade (x-3)^{4}>0.
O que se pede: encontrar todos os valores de x (números reais) que satisfazem essa desigualdade.
Informações dadas e relevantes:
  • A expressão é uma potência de quarto grau (x-3)^{4}.
  • A desigualdade é estrita: >\,0.
  • A variável x é um número real (domínio implícito \mathbb{R}).

Passo 2

Para simplificar a análise, faço a substituição \;y=x-3\;. Assim a desigualdade vira
y^{4}>0.
Esta mudança só renomeia a quantidade que está sendo elevada; depois volto a x.

Passo 3

Vou usar uma propriedade básica de potências pares: para qualquer número real y vale
y^{4}=(y^{2})^{2}\ge 0,
porque y^{2}\ge 0 para todo y, e elevar um número não negativo ao quadrado dá um número não negativo. Além disso, a igualdade y^{4}=0 ocorre exatamente quando y=0. Em outras palavras,
y^{4}\ge 0\quad\text{para todo }y\in\mathbb{R}, \qquad\text{e}\qquad y^{4}=0\iff y=0.

Passo 4

Agora imponho a desigualdade estrita y^{4}>0. Pelas observações do passo anterior, isso é verdadeiro sempre que y\neq 0, e é falso quando y=0 (pois aí y^{4}=0 não é maior que zero). Portanto a solução em termos de y é
y\neq 0.
Posso checar com exemplos rápidos: se y=1 então 1^{4}=1>0; se y=-1 então (-1)^{4}=1>0. Se y=0, 0^{4}=0 que não satisfaz >0.

Passo 5

Volto à variável original: como \;y=x-3\;, a condição y\neq 0 fica
x-3\neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\neq 3.

Passo 6

Escrevendo a solução como intervalo (conjunto de todos os reais exceto 3), temos
(-\infty,3)\cup(3,\infty).
É isso: a expressão (x-3)^{4} é sempre não negativa e só zera em x=3; para qualquer outro x ela é positiva.

Resposta

(-\infty,3)\cup(3,\infty)

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