No universo dos complexos, sobre a equação 2 x^{6}-4 x^{5}-64 x+ 128=0, marque a alternativa correta.
A) Apresenta conjunto solução unitário.
B) O produto das raízes imaginárias é igual a 16
C) Apresenta conjunto solução com seis elementos distintos.

Passo 1

O enunciado pede para analisar as soluções da equação
2x^{6}-4x^{5}-64x+128=0
no conjunto dos números complexos. O conteúdo principal aqui é fatorar o polinômio de grau 6 e estudar suas raízes, em especial as não reais.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o polinômio por agrupamento. Observe que
2x^{6}-4x^{5}-64x+128 =2\bigl(x^{6}-2x^{5}-32x+64\bigr).
Dentro do parêntese, agrupamos em dois termos:
x^{6}-2x^{5}-32x+64 =x^{5}(x-2)-32(x-2) =(x^{5}-32)(x-2).

Passo 3

Da fatoração completa obtemos
2x^{6}-4x^{5}-64x+128 =2\,(x-2)\,(x^{5}-32).
As raízes são:
  • de x-2=0, vem x=2;
  • de x^{5}-32=0, vem x^{5}=2^{5}, logo
x=2e^{2\pi i k/5},\quad k=0,1,2,3,4.

Passo 4

Note que para k=0 obtemos x=2, repetindo a raiz do fator linear. Portanto há seis raízes contando multiplicidade, mas apenas cinco valores distintos, sendo quatro deles não reais (quando k=1,2,3,4).

Passo 5

O produto das quatro raízes não reais é
\prod_{k=1}^{4}\bigl(2e^{2\pi i k/5}\bigr) =2^{4}\exp\!\Bigl(\tfrac{2\pi i}{5}(1+2+3+4)\Bigr) =16\exp\!\bigl(2\pi i\cdot2\bigr) =16.

Resposta

(B)

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