(URCA/2024.2) Seja \frac{p}{q} a forma racional do número \frac{2 \frac{1}{3}+1 \frac{1}{6}}{4 \frac{1}{5}-\frac{1}{2}}+2,333 \ldots+\sqrt[3]{14+\sqrt{12321}}. Calcule o valor de p-q.
A) 919
B) 909
C) 808
D) 819
E) 929

Passo 1

O enunciado pede para calcular em forma racional \tfrac{p}{q} do número
\frac{2 \tfrac{1}{3} + 1 \tfrac{1}{6}}{4 \tfrac{1}{5} - \tfrac{1}{2}} \;+\; 2{,}333\ldots \;+\; \sqrt[3]{14 + \sqrt{12321}}
e então encontrar p - q. Aqui vamos usar conversão de números mistos em frações impróprias, repetição decimal, e propriedades de raízes.

Passo 2

Primeiro convertemos os mistos em frações e calculamos o quociente:
2\tfrac{1}{3} = \frac{7}{3},\quad 1\tfrac{1}{6} = \frac{7}{6},\quad 4\tfrac{1}{5} = \frac{21}{5}.
Então,
\frac{2 \tfrac{1}{3} + 1 \tfrac{1}{6}}{4 \tfrac{1}{5} - \tfrac{1}{2}} = \frac{\tfrac{7}{3} + \tfrac{7}{6}}{\tfrac{21}{5} - \tfrac{1}{2}} = \frac{\tfrac{21+7}{6}}{\tfrac{42-5}{10}} = \frac{\tfrac{28}{6}}{\tfrac{37}{10}} = \frac{7}{2}\times\frac{10}{37} = \frac{35}{37}.

Passo 3

O decimal 2{,}333\ldots é 2.\overline{3}=2+\tfrac{1}{3}=\tfrac{7}{3}.

Passo 4

Calculamos a parte da raiz:
\sqrt{12321} = 111,
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\sqrt[3]{14 + \sqrt{12321}} = \sqrt[3]{14 + 111} = \sqrt[3]{125} = 5.

Passo 5

Agora somamos os três termos:
\frac{35}{37} + \frac{7}{3} + 5 = \frac{35}{37} + \frac{7}{3} + \frac{15}{3} = \frac{35}{37} + \frac{22}{3} = \frac{35\cdot3 + 22\cdot37}{37\cdot3} = \frac{105 + 814}{111} = \frac{919}{111}.

Passo 6

Aqui p=919 e q=111. Portanto
p - q = 919 - 111 = 808.

Resposta

808

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