Uma urna contém \mathbf{3} bolas vermelhas, \mathbf{2} azuis e \mathbf{1} preta.
Duas bolas são retiradas sem reposição.
Qual é a probabilidade de as duas bolas serem vermelhas?

Passo 1

O enunciado dá uma urna com as seguintes bolas: 3 vermelhas, 2 azuis e 1 preta. Duas bolas são retiradas sem reposição.
A pergunta é: qual é a probabilidade de as duas bolas retiradas serem vermelhas?
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • Número total de bolas inicialmente: 3+2+1=6.
  • Extrações: duas retiradas, sem reposição (ou seja, a segunda retirada ocorre com menos uma bola no total e talvez com menos bolas vermelhas dependendo da primeira).
  • Precisamos calcular a chance de obter uma sequência em que a primeira e a segunda bolas são vermelhas.

Passo 2

Vamos usar a regra do produto para acontecimentos sucessivos (multiplicação de probabilidades condicionais). A regra diz que, para dois eventos A e B,
P(A\\ \text{e}\\ B)=P(A)\cdot P(B\mid A).
Aqui P(A) é a probabilidade do primeiro evento ocorrer, e P(B\mid A) é a probabilidade do segundo evento dado que o primeiro já ocorreu. Explico em palavras: para achar a probabilidade de duas coisas acontecerem em sequência, calculamos a chance da primeira acontecer e multiplicamos pela chance da segunda acontecer no cenário em que a primeira já ocorreu.

Passo 3

Identificamos A = “primeira bola é vermelha” e B = “segunda bola é vermelha”. Primeiro calculemos P(A). Há 3 bolas vermelhas entre 6 bolas no total, então
P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.
Isso significa que, na primeira retirada, a chance de sair vermelha é 1/2.

Passo 4

Agora calculemos P(B\mid A), a probabilidade de a segunda bola ser vermelha dado que a primeira foi vermelha. Se a primeira foi vermelha, restam 3-1=2 bolas vermelhas e o total de bolas cai para 6-1=5. Então
P(B\mid A)=\frac{2}{5}.
Isso é intuitivo: depois de tirar uma vermelha, sobram 2 vermelhas entre 5 bolas.

Passo 5

Aplicando a regra do produto:
P(\text{duas vermelhas})=P(A)\cdot P(B\mid A)=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{5}=\frac{1}{5}.
Portanto a probabilidade procurada é \frac{1}{5}, o que equivale a 0,2 (ou 20\%).

Passo 6

Vou mostrar uma forma alternativa (útil em provas) que dá o mesmo resultado, usando contagem combinatória: contar o número de maneiras favoráveis dividido pelo número de maneiras totais de escolher 2 bolas dentre 6. O número de formas de escolher k objetos dentre n sem ordem é dado por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! é fatorial de n. Aqui:
  • Maneiras favoráveis (escolher 2 vermelhas dentre 3): \binom{3}{2}=3.
  • Maneiras totais (escolher 2 bolas dentre 6): \binom{6}{2}=\frac{6\cdot5}{2}=15.
    Logo a probabilidade é
\frac{\binom{3}{2}}{\binom{6}{2}}=\frac{3}{15}=\frac{1}{5},
confirmando o resultado anterior. Essas duas abordagens (multiplicação condicional e combinações) são equivalentes — escolha a que você achar mais rápida na prova.

Passo 7

Dica rápida para a prova (respira fundo, você consegue): como as retiradas são sem reposição, lembre-se de reduzir o total e o número de bolas da cor retirada ao passar para a segunda probabilidade. Se fosse com reposição (colocar a primeira bola de volta) a segunda probabilidade permaneceria igual à primeira.

Resposta

\dfrac{1}{5}

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