Uma urna contém
bolas vermelhas,
azuis e
preta.
Duas bolas são retiradas sem reposição.
Qual é a probabilidade de as duas bolas serem vermelhas?
Qual é a probabilidade de as duas bolas serem vermelhas?
Passo 1
O enunciado dá uma urna com as seguintes bolas:
vermelhas,
azuis e
preta. Duas bolas são retiradas sem reposição.
A pergunta é: qual é a probabilidade de as duas bolas retiradas serem vermelhas?
Informações importantes extraídas do enunciado:
A pergunta é: qual é a probabilidade de as duas bolas retiradas serem vermelhas?
Informações importantes extraídas do enunciado:
- Número total de bolas inicialmente:
. - Extrações: duas retiradas, sem reposição (ou seja, a segunda retirada ocorre com menos uma bola no total e talvez com menos bolas vermelhas dependendo da primeira).
- Precisamos calcular a chance de obter uma sequência em que a primeira e a segunda bolas são vermelhas.
Passo 2
Vamos usar a regra do produto para acontecimentos sucessivos (multiplicação de probabilidades condicionais). A regra diz que, para dois eventos
e
,
Aqui
é a probabilidade do primeiro evento ocorrer, e
é a probabilidade do segundo evento dado que o primeiro já ocorreu. Explico em palavras: para achar a probabilidade de duas coisas acontecerem em sequência, calculamos a chance da primeira acontecer e multiplicamos pela chance da segunda acontecer no cenário em que a primeira já ocorreu.
Passo 3
Identificamos
= “primeira bola é vermelha” e
= “segunda bola é vermelha”. Primeiro calculemos
. Há
bolas vermelhas entre
bolas no total, então
Isso significa que, na primeira retirada, a chance de sair vermelha é
.
Passo 4
Agora calculemos
, a probabilidade de a segunda bola ser vermelha dado que a primeira foi vermelha. Se a primeira foi vermelha, restam
bolas vermelhas e o total de bolas cai para
. Então
Isso é intuitivo: depois de tirar uma vermelha, sobram 2 vermelhas entre 5 bolas.
Passo 5
Aplicando a regra do produto:
Portanto a probabilidade procurada é
, o que equivale a
(ou
).
Passo 6
Vou mostrar uma forma alternativa (útil em provas) que dá o mesmo resultado, usando contagem combinatória: contar o número de maneiras favoráveis dividido pelo número de maneiras totais de escolher 2 bolas dentre 6. O número de formas de escolher
objetos dentre
sem ordem é dado por
onde
é fatorial de
. Aqui:
- Maneiras favoráveis (escolher 2 vermelhas dentre 3):
. - Maneiras totais (escolher 2 bolas dentre 6):
.
Logo a probabilidade é
confirmando o resultado anterior. Essas duas abordagens (multiplicação condicional e combinações) são equivalentes — escolha a que você achar mais rápida na prova.
Passo 7
Dica rápida para a prova (respira fundo, você consegue): como as retiradas são sem reposição, lembre-se de reduzir o total e o número de bolas da cor retirada ao passar para a segunda probabilidade. Se fosse com reposição (colocar a primeira bola de volta) a segunda probabilidade permaneceria igual à primeira.