Uma urna contém
bolas vermelhas,
azuis e
preta.
Duas bolas são retiradas sem reposição.
Qual é a probabilidade de as duas terem cores diferentes?
Qual é a probabilidade de as duas terem cores diferentes?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações: há
bolas vermelhas,
bolas azuis e
bola preta, totalizando
bolas. Retiram-se duas bolas sem reposição. A pergunta é: qual é a probabilidade de que as duas bolas retiradas tenham cores diferentes?
Passo 2
Vou usar contagem combinatória simples porque todas as duplas de bolas têm a mesma chance de sair quando a retirada é aleatória sem reposição — isso facilita muito no tempo de prova. Alternativa seria usar probabilidade condicionada (passo a passo), que também é válida; no final mostro essa alternativa para reforçar o entendimento.
Passo 3
Primeiro vamos contar quantas duplas possíveis existem no total. Como a ordem de retirada não importa para calcular “duas bolas”, usamos a combinação:
Isso significa que existem
pares distintos de bolas possíveis e todos são igualmente prováveis.
Passo 4
Agora contamos quantas dessas duplas têm as duas bolas da mesma cor (esses são os casos que NÃO queremos). Para cada cor calculamos o número de pares entre as bolas daquela cor:
Somando os pares de mesma cor temos
casos indesejados.
Passo 5
Os casos favoráveis (duas bolas de cores diferentes) são os pares totais menos os pares de mesma cor:
Como verificação alternativa, podemos contar diretamente os pares de cores diferentes:
soma
, que bate com o resultado anterior.
Passo 6
A probabilidade pedida é então o número de casos favoráveis dividido pelo número total de casos igualmente possíveis:
Passo 7
(Alternativa por probabilidade condicional, para fixar a ideia) Pegando a primeira bola qualquer e calculando passo a passo:
P(diferente) P(ambas da mesma cor). Calculemos P(ambas vermelhas) e P(ambas azuis):
P(diferente)
P(ambas pretas)
. Logo P(ambas mesmas)
e assim P(diferente)
, conforme obtido antes.