Uma urna contém \mathbf{3} bolas vermelhas, \mathbf{2} azuis e \mathbf{1} preta.
Duas bolas são retiradas sem reposição.
Qual é a probabilidade de as duas terem cores diferentes?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações: há \,3\, bolas vermelhas, \,2\, bolas azuis e \,1\, bola preta, totalizando \,6\, bolas. Retiram-se duas bolas sem reposição. A pergunta é: qual é a probabilidade de que as duas bolas retiradas tenham cores diferentes?

Passo 2

Vou usar contagem combinatória simples porque todas as duplas de bolas têm a mesma chance de sair quando a retirada é aleatória sem reposição — isso facilita muito no tempo de prova. Alternativa seria usar probabilidade condicionada (passo a passo), que também é válida; no final mostro essa alternativa para reforçar o entendimento.

Passo 3

Primeiro vamos contar quantas duplas possíveis existem no total. Como a ordem de retirada não importa para calcular “duas bolas”, usamos a combinação:
\binom{6}{2} = \frac{6\cdot5}{2\cdot1} = 15.
Isso significa que existem \,15\, pares distintos de bolas possíveis e todos são igualmente prováveis.

Passo 4

Agora contamos quantas dessas duplas têm as duas bolas da mesma cor (esses são os casos que NÃO queremos). Para cada cor calculamos o número de pares entre as bolas daquela cor:
\binom{3}{2} = 3 \quad\text{(pares ambas vermelhas)},
\binom{2}{2} = 1 \quad\text{(pares ambas azuis)},
\binom{1}{2} = 0 \quad\text{(pares ambas pretas — impossível porque só há uma preta)}.íóá
Somando os pares de mesma cor temos 3+1+0=4 casos indesejados.

Passo 5

Os casos favoráveis (duas bolas de cores diferentes) são os pares totais menos os pares de mesma cor:
15 - 4 = 11.
Como verificação alternativa, podemos contar diretamente os pares de cores diferentes:
\text{vermelha-azul}: 3\cdot2 = 6,
\text{vermelha-preta}: 3\cdot1 = 3,
\text{azul-preta}: 2\cdot1 = 2,
soma 6+3+2=11, que bate com o resultado anterior.

Passo 6

A probabilidade pedida é então o número de casos favoráveis dividido pelo número total de casos igualmente possíveis:
\frac{11}{15}.

Passo 7

(Alternativa por probabilidade condicional, para fixar a ideia) Pegando a primeira bola qualquer e calculando passo a passo:
P(diferente) =1-P(ambas da mesma cor). Calculemos P(ambas vermelhas) e P(ambas azuis):
\text{P(ambas vermelhas)} = \frac{3}{6}\cdot\frac{2}{5} = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{5} = \frac{1}{5} = \frac{3}{15},
\text{P(ambas azuis)} = \frac{2}{6}\cdot\frac{1}{5} = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{5} = \frac{1}{15},
P(ambas pretas) =0. Logo P(ambas mesmas) = \frac{3}{15}+\frac{1}{15}=\frac{4}{15} e assim P(diferente) =1-\frac{4}{15}=\frac{11}{15}, conforme obtido antes.

Resposta

\displaystyle \frac{11}{15}

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