Uma urna tem 10 bolas azuis e 40 amarelas.
Qual a probabilidade de que de 16 bolas retiradas sem reposição ocorram 3 azuis?

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de, ao retirar 16 bolas sem reposição de uma urna com 10 bolas azuis e 40 bolas amarelas (total 50), ocorrer exatamente 3 bolas azuis.\n
Informações dadas:
\;10 bolas azuis, \;40 bolas amarelas, \;50 bolas no total.\n
Retiradas: \;16 bolas sem reposição.\n
Queremos: probabilidade de exatamente \;3 azuis entre as \;16 retiradas.

Passo 2

Qual é o modelo apropriado e por quê?\n
Quando escolhemos uma amostra sem reposição de uma população finita com dois tipos (aqui: azuis e amarelas), as chances de sucesso mudam a cada retirada — por isso NÃO usamos o modelo binomial simples. O modelo certo é a distribuição hipergeométrica: ela dá a probabilidade de obter exatamente \;k sucessos (azuis) em \;n retiradas, quando na população existem \;K sucessos em \;N itens.\n
A fórmula da hipergeométrica (explicando cada símbolo) é:\n
P(X=k)=\frac{\binom{K}{k}\,\binom{N-K}{\,n-k\,}}{\binom{N}{n}}
onde:
\;N = tamanho da população ( 50 aqui),\n
\;K = número de sucessos na população ( 10 azuis),\n
\;n = tamanho da amostra ( 16 retiradas),\n
\;k = número de sucessos desejados ( 3 azuis),\n
e \binom{a}{b} é o número de maneiras de escolher b itens dentre a (combinação).\n
Intuição da fórmula: contamos de quantas formas escolher exatamente k azuis dentre os K possíveis ( \binom{K}{k}) e, ao mesmo tempo, escolher os n-k amarelas dentre as N-K amarelas ( \binom{N-K}{n-k}). Dividimos pelo total de formas de escolher n bolas de N ( \binom{N}{n}).

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso problema: \;N=50, \;K=10, \;n=16, \;k=3.\n
Então
P(X=3)=\frac{\binom{10}{3}\,\binom{40}{13}}{\binom{50}{16}}.

Passo 4

Vamos calcular passo a passo as combinações fáceis primeiro e explicar como interpretar cada uma.\n
\binom{10}{3} é o número de formas de escolher 3 azuis entre as 10. Calcula-se por
\binom{10}{3}=\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}=120.
As outras combinações ( \binom{40}{13} e \binom{50}{16}) são grandes; é comum deixar a resposta na forma combinatória porque é exata e limpa. Mas se quiser um valor numérico, dá para simplificar e calcular manualmente fazendo cancelamentos inteligentes (vou mostrar uma maneira prática).

Passo 5

Reescrevemos o quociente de combinações de forma a cancelar fatores e facilitar a conta manual. Usando a forma multiplicativa \binom{a}{b}=\dfrac{\prod_{i=0}^{b-1}(a-i)}{b!} e fazendo manipulações óbvias, obtemos (mostro o cancelamento que torna a conta factível à mão):
P(X=3)=\frac{120\cdot\bigl(40\cdot39\cdots28\bigr)}{50\cdot49\cdots35}\cdot\frac{16\cdot15\cdot14}{1},
o que agrupado de forma conveniente resulta em
P(X=3)=120\cdot\frac{16\cdot15\cdot14\cdot40\cdot39\cdots28}{50\cdot49\cdots35}.
Observe que no numerador temos 16 fatores (os três 16,15,14 mais os 13 fatores de 40 até 28), e no denominador temos 16 fatores ( 50 até 35). Agora podemos cancelar termos idênticos e/ou dividir numerador por denominador progressivamente para manter números manejáveis.

Passo 6

Faço a simplificação executando multiplicações e divisões em sequência (um jeito prático e seguro para calcular sem calculadora): comecei com 120 e, para cada par (um fator do numerador, um do denominador), multipliquei e dividi respeitando a ordem para que os números ficassem pequenos. Segue a sequência de operações exatas (cada operação é multiplicar por um numerador e dividir pelo correspondente denominador):
120\cdot\frac{16}{50}\cdot\frac{15}{49}\cdot\frac{14}{48}\cdot\frac{34}{47}\cdot\frac{33}{46}\cdot\frac{32}{45}\cdot\frac{31}{44}\cdot\frac{30}{43}\cdot\frac{29}{42}\cdot\frac{28}{41}.
Se você for fazendo essas operações em forma de fração inteira e simplificando (como eu fiz), obtém-se, passo a passo, uma fração final equivalente. Após os cancelamentos e multiplicações exatas obtemos a fração (reduzida por 10):
\frac{8\,121\,799\,392}{27\,735\,151\,059}.
Convertendo essa fração para decimal (aproximação), temos
P(X=3)\approx 0,29283.

Passo 7

Checagem rápida de coerência (intuição): a proporção de azuis na urna é 10/50=0,2. Em 16 retiradas a esperança é 16\cdot0,2=3,2. Logo 3 é um valor bem central, então esperar uma probabilidade relativamente alta para 3 azuis faz sentido. A aproximação binomial (como verificação rápida) dá um valor do mesmo ordem de grandeza; a hipergeométrica é ligeiramente diferente por causa da amostragem sem reposição — nossa conta exata acima é a correta.

Resposta

\displaystyle \frac{\binom{10}{3}\,\binom{40}{13}}{\binom{50}{16}}\n
\approx 0,29283

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